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Teorema di Rouché-Capelli modifica

Sia   un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Allora il sistema ha soluzioni se e solo se

 .

La soluzione è unica se e solo se

 .

Dimostrazione modifica

Esistenza modifica

Un sistema lineare ha soluzioni se e solo se il vettore dei termini noti b appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori colonna della matrice dei coefficienti A. Cioè,  , ovvero tutti i vettori colonna   dei termini noti si ottiene in funzione del vettore  .

Si ha che

 

cioè

 

ma sappiamo che tutti i   sono combinazioni lineari di  , quindi

 .

Unicità modifica

Per il Teorema di Struttura, se   è l'unica soluzione del sistema allora non esistono soluzioni del sistema omogeneo  , quindi se e solo se  .

Teorema di Cramer modifica

Sia dato un sistema lineare   con   equazioni in   incognite e  .

Per ogni   sia   la matrice ottenura da   sostituendo alla colonna i-esima la colonna dei termini noti. Allora vale che:

 

Dimostrazione modifica

Sia   la matrice ottenuta da   scambiando la i-esima colonna di   con il vettore colonna dei termini noti  

 

Lo sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima colonna e'

 

e sappiamo che

 

Sviluppiamo rispetto alla colonna i-esima