Integrali

lezione
Integrali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:

integrali immediatiModifica

funzione data integrale funzione data integrale

integrali quasi immediatiModifica

1°)
2°)
3°)
4°)
5°)
quando

integrali non immediatiModifica

funzioni razionaliModifica
funzione razionale intera
funzione razionale fratta:

Se il denominatore è tale che:

essendo: una radice reale semplice,

una radice reale multipla,
due radici complesse semplici,
due radici complesse multiple,

dell'equazione: , la frazione data si decompone nel seguente modo:

dove le costanti , si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della dei due membri. L'integrazione della frazione è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

formule risolutive notevoli
A)
B)
dove
funzioni irrazionaliModifica

con F simbolo di funzione razionale.

Ponendo: dove , da cui: , l'integrale diventa:

con:

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

Ponendo si ha:

Posto onde si ha:

Ora, quindi

allora, per

con F simbolo di funzione razionale.

I°) Se a>0, si pone: da cui:

Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.

esempio

Poniamo: da cui

allora, a meno di una costante:

si ha quindi:

funzioni trascendentiModifica

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: da cui:

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

Ricordato che

si porrà: da cui

allora:

con che la funzione da integrare è una funzione razionale.

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: , da cui e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone : da cui e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

Posto da cui si ha:

e

Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

, con F simbolo di funzione razionale.

si pone: onde:

esempio

Si pone da cui: e

Allora:

Sostituendo i ha:

II°

Si pone: ovvero da cui:

Allora:

ovvero
esempio
III°

Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo ovvero , si ha:

con F simbolo di funzione razionale.

EserciziModifica

esercizio 1°Modifica

 
Si ha:   ,
  ,
  ,

da cui:

 

Risolvendo il sistema si ha:  e  

Quindi:

 

esercizio 2°Modifica

 
Eseguendo la divisione si ha:
 
Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio precedente si trova:
 
Quindi:
 
 

esercizio 3°Modifica

 

Applicando la formula notevole