Integrali

Se il denominatore è tale che:

integrali immediati

funzione data	integrale	funzione data	integrale
$\ x^{m}$	${\frac {x^{m+1}}{m+1}}$	$\ cos^{2}x$	$\ tang\ x$
$\ a^{x}$	${\frac {a^{x}}{\log {a}}}$	$\ -cosc^{2}\ x$	$\ cotang\ x$
$\ e^{x}$	$\ e^{x}$	$\ sec^{2}\ x$	$\ tang\ x$
${\frac {1}{x}}$	$\ logx$	$-\ cosec^{2}\ x$	$\ cotang\ x$
$\ sinx$	$\ -cosx$	${1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ arc\ sen\ x$
$\ cosx$	$\ senx$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ arc\ cos\ x$
${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$	${\sqrt {x}}$
${\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}$	${\sqrt[{n}]{x}}$

integrali quasi immediati

1°) $\ \int _{}{(ax+b)^{n}}dx={\frac {1}{a}}\ \int _{}(ax+b)^{n}d(ax+b)={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}$

2°) $\ \int _{}{\frac {dx}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\log(ax+b)$

3°) $\ \int _{}{\frac {dx}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}}$

4°) $\ \int _{}{\frac {xdx}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\ \int _{}{\frac {d(ax^{2}+b)}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\log(ax^{2}+b)$

5°) ${\begin{aligned}\ \int _{}{\frac {dx}{ax^{2}+b}}&={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {dx}{x^{2}+c^{2}}}={\frac {1}{ac}}\ \int _{}{\frac {d({\frac {x}{c}})}{({\frac {x}{c}})^{2}+1}}={\frac {1}{ac}}\ arc\ tang{\frac {x}{c}}\\&={\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\ arc\ tang{\sqrt {\frac {a}{b}}}\ x\end{aligned}}$

quando $\ {\frac {b}{a}}=c^{2}\ >0$

integrali non immediati

funzioni razionali

funzione razionale intera

$\ \int _{}(a_{o}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+....+a_{n+1}$

funzione razionale fratta:${\frac {A(x)}{B(x)}}$

$\ B(x)=(x-\alpha )(x-\beta )^{r}[(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}][x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}$

essendo: $\ \alpha$ una radice reale semplice,

$\ \beta$ una radice reale multipla,

$\ \epsilon \pm i\delta$ due radici complesse semplici,

$\ \mu \pm i\nu$ due radici complesse multiple,

dell'equazione: $\ B(x)=0$, la frazione data si decompone nel seguente modo:

${\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {d_{r}}{(x-\beta )^{r}}}+{\frac {d_{r-1}}{(x-\beta )^{r-1}}}+....+{\frac {d_{1}}{x-\beta }}+{\frac {m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}}}+{\frac {p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-}}}+$

$+{\frac {p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-1}}}+....+{\frac {p_{1}x+q_{1}}{(x-\nu )^{2}+\nu ^{2}}}$

dove le costanti $\ c_{1},d_{i},m_{i},n_{i},p_{i},q_{i}$, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della $\ x$ dei due membri. L'integrazione della frazione ${\frac {A_{x}}{B_{x}}}$ è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

formule risolutive notevoli

A)$\ \int _{}{\frac {A(x)dx}{(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n})}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})$

B)$\ \int _{}{\frac {dx}{(ax^{2}+b)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{i=n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})}{(ax^{2}+b)^{n-1}}}+c_{n}I_{o}(x)$

dove $\ I_{o}(x)=\ \int _{}{\frac {dx}{ax^{2}+b}}$

funzioni irrazionali

$a)\qquad \int _{}{}F[x,(ax+b)^{m \over n},(ax+b)^{p \over q}....(ax+b)^{r \over s}]ds$

con F simbolo di funzione razionale.

Ponendo:$\ ax+b=t^{\mu }$ dove $\ \mu =m.c.m(n,q,...s)$, da cui: $a\ dx=\mu t^{\mu -1}dt$, l'integrale diventa:

$\int _{}{}F({t^{\mu }-b \over a},\ t^{m}q_{1},\ t^{p}q_{2},...t^{r}q_{k}){\mu \over a}\ t^{\mu -1}dt$

con:$\ q_{1}={\mu \over n},\ q_{2}={\mu \over q},\ ....q_{k}={\mu \over s},$

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

$1\qquad \int _{}{}{dx \over 1+{\sqrt {x}}}$

Ponendo $\ x=t^{2},\ dx=2\ t\ dt,\ t={\sqrt {x}}$ si ha:

${\begin{aligned}\int _{}{}{dx \over 1+{\sqrt {x}}}&=2\int _{}{}{t\ dt \over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2{\sqrt {x}}-2\log(1+{\sqrt {x}})\end{aligned}}$

$2\qquad \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}$

Posto $\ x=t^{3}$ onde $dx=3t^{2}\ dt$ si ha:

$\ \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=\int _{}{}{1 \over t-1}3\ t^{2}dt=3\int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt$

Ora, ${t^{2} \over t-1}=1+t+{1 \over t-1},$ quindi

$\ \int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt=t+{t^{2} \over 2}+\log(t-1);$

allora, per $t={\sqrt[{3}]{x}},$

$\int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=3[{\sqrt[{3}]{x}}+{1 \over 2}{\sqrt[{3}]{x}}^{2}+\log({\sqrt[{3}]{x}}-1)]$

$b)\qquad \int _{}{}{F(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\ )dx$

con F simbolo di funzione razionale.

I°) Se a>0, si pone: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\ x,$ da cui:

$x={t^{2}-c \over 2{\sqrt {a}}\ t+b},\qquad dx=2{(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt \over (2t{\sqrt {a}}+b)^{2}}dt,\qquad t=x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt}{2t{\sqrt {a}}+b}}$

Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.

esempio

$\int {}{}{1 \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}dx$

Poniamo: ${\sqrt {x^{2}-4x+5}}=t-x$ da cui

$x={1 \over 2}{t^{2}-5 \over t-2},\qquad dx={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)^{2}}\ dt,\qquad t=x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}};$

${\sqrt {x^{2}-4x+5}}={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}$

allora, a meno di una costante:

$\int _{}{}{1 \over {t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}\ {1 \over 2}\ {t^{2}-4t+5 \over (t-2)^{2}}dt=\int _{}{}{dt \over t-2}=\log(t-2);$

si ha quindi:

$\int _{}{}{dx \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}=\log(x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}}-2)$

funzioni trascendenti

$a)\qquad \int _{}{}F(sen\ x,cos\ x)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $\ t=tang\ {x \over 2},$ da cui: $dx={dt \over 1+t^{2}},sen\ x={2t \over 1+t^{2}},cos\ x={1-t^{2} \over 1+t^{2}}$

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int _{}{}{dx \over sen\ x+cos\ x}$

Ricordato che

$sen\ x={2\ tang{x \over 2} \over 1+tang^{2}{x \over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^{2}{x \over 2} \over {1+tang^{2}{x \over 2}}}$

si porrà: $tang{x \over 2}=t$ da cui ${dt \over dx}={1 \over 2}{1 \over cos^{2}{x \over 2}}={1 \over 2}(1+t^{2});$

allora:$\int _{}{}{dx \over sen\ x+cos\ x}=\int _{}{}{{2 \over 1+t^{2}} \over {2t \over 1+t^{2}}+{1-t^{2} \over 1+t^{2}}}dt=\int {}{}{2dt \over -t^{2}+2t+1},$

con che la funzione da integrare è una funzione razionale.

$b)\qquad \int _{}{}F(tang\ x)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $tang\ x=t$, da cui $dx={dt \over 1+t^{2}},$ e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

$\int _{}{}tang\ x\ dx=\int _{}{}{t \over 1+t^{2}}\ dt={1 \over 2}\ log_{e}(1+t^{2})={1 \over 2}\log _{e}(1+tng^{2}x)$

$c)\qquad \int _{}{}F(e^{ax})dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone : $\ e^{ax}=t,$ da cui $x={1 \over a}\ log\ t,\ dx={dt \over dx}$ e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int {}{}{1 \over 1+e^{x}}\ dx$

Posto $\ e^{x}=t,$ da cui ${dt \over dx}=e^{x}=t,$ si ha:

$\int {}{}{dx \over 1+e^{x}}=\int {}{}{dt \over t(1+t)}=log\ t-log\ (1+t),$ e

$\int {}{}{dx \over 1+e^{x}}=log\ e^{x}-log\ (1+e^{x})=x-log(1+e^{x})$

$\ d)$ Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

I° $\int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx$, con F simbolo di funzione razionale.

si pone: $\ x=a\ sent,$ onde:

$\int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx=\int {}{}F(a\ sent,a\ cost)a\ cost\ dt$

esempio

$\int {}{}{5 \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx$

Si pone $x=5\ sen\ t,$ da cui: $\ dx=5\ cost\ dt,$ e $\ t=arc\ sen{x \over 5}.$

Allora:

$\int {}{}{x \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx=\int {}{}{5\ sent \over {\sqrt {5^{2}-5^{2}\ sen^{2}t}}}5\ cost\ dt=-5\ cost$

Sostituendo i ha: $\ -5\ cos\ arc\ sen{x \over 5}=-{\sqrt {5^{2}-x^{2}}}.$

II° $\int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx$

Si pone: $\ x=a\ tang\ t$ ovvero $\ x=a\ sinh\ x,$ da cui:

$\ dx=a\ sec^{2}t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt$

Allora:

$\int {}(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx=\int {}{}F(a\ tang\ t,a\ sec\ t)a\ sec^{2}t\ dt$

ovvero

$=\int {}F(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.$

esempio

III° $\int {}{}F(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\ dx$

$\ e)$ Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo $\ cos\ x=t$ ovvero $\ sen\ x=t$, si ha:

$\int _{}{}sen\ xF(sen^{2}x,cos\ x)dx=-\int _{}{}F(t-t^{2},t)dt$

$\int _{}{}cos\ xF(cos^{2}x,sen\ x)dx=\int _{}{}F(1-t^{2},t)dt$

con F simbolo di funzione razionale.

$\ f)\qquad formulenotevolidiriduzione$

Esercizi

esercizio 1°

$\ \int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx$

Si ha: $\ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ ,

${\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}={\frac {c_{1}}{x-2}}+{\frac {c_{2}}{x-3}}$ ,

$\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3c_{1}-2c_{2}$ ,

da cui:

$\left\{{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}}\right.$

Risolvendo il sistema si ha:$\ c_{1}=-3$ e $\ c_{2}=4$

Quindi:

$\int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx=\ \int _{}{\frac {-3}{x-2}}dx+\ \int _{}{\frac {4}{x-3}}dx=log{\frac {(x-3)^{4}}{(x-2)^{3}}}$

esercizio 2°

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio precedente si trova:

${\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}={\frac {c_{1}}{x-1}}+{\frac {c_{2}x+c_{2}}{x^{2}+1}}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{2}}{\frac {x+1}{x^{2}+1}}$

Quindi:

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx=x+{\frac {3}{2}}log(x-1)-{\frac {1}{4}}log(x^{2}+1)-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)=$

$=x+log{\sqrt {\frac {(x-1)^{3}}{{\sqrt {(}}x^{2}+1)}}}-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)$

esercizio 3°

$\int {}{}{x^{3}-x^{2}+1 \over (1+x^{2})^{3}}dx$

Applicando la formula notevole $\int {}{}{A(x) \over (ax^{2}+b)^{n}}dx={? \over (ax^{2}+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+b)+c_{2n}I_{0}(x)$