Operazioni algebriche

Prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono espressioni algebriche di uso comune . Eccone qui alcune particolarmente interessanti.

Quadrato di un binomio

Preso un qualsiasi binomio (a + b), il suo quadrato (a + b)² = a² + 2ab + b²

Esempi:

$\ (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

$\ (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$

$(2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot (2x)\cdot (y)+y^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}$

$\ (2x+2y)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 2y+(2y)^{2}=4x^{2}+8xy+4y^{2}$

$\ (2xy+3y)^{2}=(2xy)^{2}+2\cdot 2xy\cdot 3y+(3y)^{2}=4x^{2}\cdot y^{2}+12x\cdot y^{2}+9y^{2}$

Cubo di un binomio

Preso un qualsiasi binomo (a + b), il suo cubo $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Preso un qualsiasi binomo (a - b), il suo cubo $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ Esempi:

$\ (2x^{2}-y^{2})^{3}=(2x^{2})^{3}+3(2x^{2})^{2}(-y^{2})+3(2x^{2})(-y^{2})^{2}+(-y^{2})^{3}=8x^{6}-12x^{4}y^{2}+6x^{2}y^{4}-y^{6}$

Quadrato di un trinomio

Preso un qualsiasi trinomio (a + b + c), il suo quadrato (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Esempi

$\ (2a+b+c)^{2}=(2a)^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot 2a\cdot b+2\cdot 2a\cdot c+2bc=4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab+4ac+2bc$

$\ (2a+2b+c)^{2}=(2a)^{2}+(2b)^{2}+c^{2}+2\cdot 2a\cdot 2b+2\cdot 2a\cdot c+2*2b*c=4a^{2}+4b^{2}+c^{2}+8ab+4ac+4bc$

$\ (3ab+4bc+5ac)^{2}=(3ab)^{2}+(4bc)^{2}+(5ac)^{2}+2\cdot 3ab\cdot 4bc+2\cdot 3ab\cdot 5ac+2\cdot 4bc\cdot 5ac=$

$=\ 9a^{2}b^{2}+16b^{2}c^{2}+25ac^{2}+24ab^{2}c+30a^{2}bc+40abc^{2}$