Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.
Siano un sottoinsieme non vuoto di e il suo insieme derivato. Consideriamo una funzione e un punto . Definiamo il rapporto incrementale di nel punto la funzione
.
Si dice poi che è derivabile in se esiste ed è reale
.
Tale limite si chiama derivata di nel punto e si denota equivalentemente con
, ,
Se il limite esiste ma non è reale (è dunque o , si dice derivabile in senso esteso in , o ancora non derivabile in .
In termini geometrici, il rapporto incrementale di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti di ascissa e . Vediamone un esempio grafico intuitivo.
Dalla geometria analitica sappiamo inoltre che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo che si viene a formare tra essa e una qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse.
Essendo e , la tangente , cioè il coefficiente angolare della nostra retta è che è proprio il rapporto incrementale!
Supponiamo che sia continua. Allora tende a 0 per che tende a . Allora
il rapporto incrementale tende a e tende a per . Dunque:
anch'esso, come volevamo dimostrare.
È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio;
.
La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in , tuttavia non è derivabile nel punto .
Infatti
.
I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.
Dimostriamo che la derivata di è uguale a . Fissiamo e sfruttiamo la definizione di derivata intesa come limite del rapporto incrementale centrato in :
.
Quando si ha che:
tende a perché tale fattore non dipende dalla variabile ;
tende a 1 per via del limite notevole associato all'esponenziale;
pertanto il limite precedente è uguale a . Concludiamo quindi che la derivata della funzione esponenziale coincide con se stessa, ossia:
In altri termini, la funzione differisce da un polinomio lineare del tipo solo di un infinitesimo. Da questo possiamo anche dedurre che è derivabile in se e .
Consideriamo ad esempio la funzione e . Per applicare la relazione
abbiamo la necessità di valutare la derivata prima di nel punto . Nel paragrafo relativo alle derivate delle funzioni circolari abbiamo dimostrato che di conseguenza . Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per utilizzare la relazione
che diventa
vale a dire
Scriviamo la formula in favore di :
e infine ne calcoliamo il limite per che tende a
Il limite è zero perché per , in virtù del limite notevole del seno.