Funzioni derivabili e derivata di una funzione

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lezione
Funzioni derivabili e derivata di una funzione
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare

Analisi matematica > Funzioni derivabili e derivata di una funzione

Rapporto incrementale e definizione di derivataModifica

Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.

Siano   un sottoinsieme non vuoto di   e   il suo insieme derivato. Consideriamo una funzione   e un punto  . Definiamo il rapporto incrementale di   nel punto   la funzione

 .

Si dice poi che   è derivabile in   se esiste ed è reale

 .

Tale limite si chiama derivata di   nel punto   e si denota equivalentemente con

 ,  ,  

Se il limite esiste ma non è reale (è dunque   o  ,   si dice derivabile in senso esteso in  , o ancora non derivabile in  .


In termini geometrici, il rapporto incrementale di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti di ascissa   e  . Vediamone un esempio grafico intuitivo.

Dalla geometria analitica sappiamo inoltre che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo che si viene a formare tra essa e una qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse.

Essendo   e  , la tangente  , cioè il coefficiente angolare della nostra retta è   che è proprio il rapporto incrementale!

OsservazioneModifica

Sia   e sia  .

  derivabile in     continua.
DimostrazioneModifica

Supponiamo che   sia continua. Allora   tende a 0 per   che tende a  . Allora

 

il rapporto incrementale tende a   e   tende a   per  . Dunque:

  anch'esso, come volevamo dimostrare.

 

È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio;  . La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in  , tuttavia   non è derivabile nel punto  .

Infatti

 .

I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.

Esempi di funzioni derivabiliModifica

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.

  e scriviamo ora   . Allora   e   per  . Abbiamo ora che

 

Useremo convenientemente i due modi di rappresentare il rapporto incrementale a seconda dei casi.


1 - derivata di una potenzaModifica

 . Dimostriamo che  . Infatti, tenendo a mente che  ) abbiamo:

   

     

2 - derivata di  Modifica

Dimostriamo che la derivata di   è uguale a  . Fissiamo   e sfruttiamo la definizione di derivata intesa come limite del rapporto incrementale centrato in  :

 .

Quando   si ha che:

  •   tende a   perché tale fattore non dipende dalla variabile  ;
  •   tende a 1 per via del limite notevole associato all'esponenziale;

pertanto il limite precedente è uguale a  . Concludiamo quindi che la derivata della funzione esponenziale   coincide con se stessa, ossia:

 

che è quello che volevamo dimostrare.

3 - derivata di  Modifica

 . Scriviamo   e  .

 . Abbiamo che   e dunque il denominatore tende a  . Dunque  .

4-Derivata delle funzioni circolariModifica

Dimostriamo che   e  .

Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile:  .

Ora:    

Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di  .

   .

  tende a 0 mentre   tende a  . Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.

Analoghe dimostrazioni provano la derivata delle altre funzioni circolari e sono lasciate per esercizio.

Vediamo ora un'ultima osservazione estremamente importante.

OsservazioneModifica

Sia   e sia   e supponiamo   derivabile in  .

Allora  . Dunque   è un infinitesimo.

Quindi  

In altri termini, la funzione   differisce da un polinomio lineare del tipo   solo di un infinitesimo. Da questo possiamo anche dedurre che   è derivabile in   se   e  .


EsempiModifica

Consideriamo ad esempio la funzione   e  . Per applicare la relazione

 

abbiamo la necessità di valutare la derivata prima di   nel punto  . Nel paragrafo relativo alle derivate delle funzioni circolari abbiamo dimostrato che   di conseguenza  . Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per utilizzare la relazione

 

che diventa

 

vale a dire

 

Scriviamo la formula in favore di  :

 

e infine ne calcoliamo il limite per   che tende a  

 

 

Il limite è zero perché   per  , in virtù del limite notevole del seno.