Materia:Geometria analitica
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La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio della geometria attraverso il sistema di coordinate cartesiane.
Ogni punto del piano cartesiano o dello spazio è determinato dalle sue coordinate, che determinano un vettore rispettivamente del tipo (x,y) oppure (x,y,z). Gli enti geometrici come rette, curve, poligoni sono definiti tramite equazioni, disequazioni o insiemi di queste, detti sistemi.
Le proprietà di questi oggetti, come le condizioni di incidenza, parallelismo e perpendicolarità, vengono anch'esse tradotte in equazioni e quindi studiate con gli strumenti dell'algebra e dell'analisi matematica.
Il termine geometria analitica è stato usato anche da alcuni matematici moderni come Jean-Pierre Serre per definire una branca della geometria algebrica che studia le varietà complesse determinate da funzioni analitiche.
Area di riferimento
Area di Scienze matematiche, fisiche e naturali
Corsi
Questa materia fa parte dei seguenti corsi:
Corso di Matematica
Corso di Ingegneria informatica
Dipartimento
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Dipartimento: Scienze matematiche, fisiche e naturali
Geometria è una di quelle materie in cui gli argomenti sono tutti in stretta relazione tra loro. Per comprendere al meglio gli argomenti di geometria analitica è consigliabile prima soffermarsi sull'algebra lineare, comprendere il significato geometrico degli omomorfismi ed in generale costruire una visione geometria di tutti i concetti.
Soprattutto per le applicazioni lineari, autovalori-autovettori ed in generale gli argomenti a cavallo tra il primo ed il secondo modulo, è fondamentale prendere confidenza con l'argomento cercando di risolvere quanti più esercizi si riesce.
Programma dettagliato
Modulo 1
- Strutture algebriche di base: dominio, codominio, funzione, iniettività, suriettività, campo e sue proprietà.
- Matrici: operazioni fra matrici (somma e prodotto), matrice nulla, matrice opposta, matrice identica, matrice inversa, matrice invertibile, matrice trasposta, matrice simmetrica, matrice diagonale, matrice scalare.
- Spazi vettoriali: sottoinsieme e sottospazio vettoriale, intersezione, unione, somma, somma diretta, Formula di Grassmann.
- Dipendenza lineare: generatori, famiglie linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione.
- Applicazioni lineari: nucleo, immagine, antimmagine, teorema delle dimensioni.
- Sistemi lineari e forma canonica della matrice: Rango di una matrice, operazioni elementari su una matrice, metodo per calcolare la inversa di una matrice, teorema di Rouché-Capelli, sistemi di Cramer.
- Determinante: proprietà, regola di Sarrus, formula di Laplace, matrice inversa, sottomatrici, minori.
- Relazione fra applicazioni lineari e matrici: matrice associata, cambiamento di base.
Modulo 2
- Diagonalizzabilità: endomorfismi, autovettore e autovalore, autospazi, equazione e polinomio caratteristico, moltiplicità, diagonalizzazione di una matrice, similitudine.
- Spazi euclidei: forme bilineari, prodotto scalare, prodotto vettoriale, basi ortogonali e ortonormali, gruppo ortogonale, spazio perpendicolare, spazio metrico.
- Forme quadratiche: coniche a centro, matrice associata.
- Geometria analitica nel piano e nello spazio: rette, piani, fasci di rette e fasci di piani, rette complanari (parallele, coincidenti, incidenti), rette sghembe, distanza punto piano, distanza punto retta, distanza fra rette sghembe, area e volume, relazioni fra rette, relazioni tra retta e piano.
Modulo 3
Modulo 1
Modulo 2
È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.
Esami del modulo 1
La Biblioteca del Dipartimento di Matematica contiene risorse utili per approfondire. Se vuoi, aggiungi tu altre risorse.