Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

lezione
Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

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In questo corso verranno studiate alcune interessanti proprietà delle matrici su un campo , che si riveleranno utili per trovare funzioni tali che l'immagine di una base ortonormale è ancora una base ortonormale. Inoltre, dato uno spazio vettoriale euclideo , verranno trattate alcuni sottospazi che sono definite tramite il prodotto scalare: il sottospazio perpendicolare.

L'insieme delle matrici quadrate di ordine su un campo sarà denotato con . L'insieme delle matrici invertibili su sarà denotato con .

Sia . La matrice trasposta di (cioè la matrice tale che le sue righe corrispondono alle colonne di ) verrà denotato con . La matrice identica verrà denotata con . L'inversa di , se esiste, verrà denotata con .

Definizione di matrice ortogonale e gruppo ortogonaleModifica

Una matrice   dice ortogonale se  


Definiamo   il gruppo ortogonale di ordine   su  . Esso è non vuoto perché  

È noto che   è un gruppo detto gruppo lineare di dimensione   su  . Si può dimostrare che   è un sottogruppo di   o, equivalentemente,   (si vedano le proprietà di un sottogruppo).

Infatti  .

 


Proprietà delle matrici ortogonaliModifica

ProposizioneModifica

 

DimostrazioneModifica

Supponiamo   ortogonale. Allora   e  

Viceversa se  , allora  . Siamo in un gruppo, quindi la regola della cancellazione di   prova che, in ogni caso,  .

 


OsservazioneModifica

Osserviamo che se  , allora il suo determinante è  .

Infatti  

Il viceversa non vale, perché, ad esempio, la matrice   ha determinante 1, ma  .

 


Sottogruppo specialeModifica

Definiamo ora un sottogruppo di   che denotiamo con  . Questo sottogruppo è detto sottogruppo speciale ortogonale di ordine   su  .

ProposizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale euclideo, con  .

Sia   una base ortonormale di  . Un'altra base   è ortonormale se e solo se è ortogonale la matrice del cambiamento di base  .

DimostrazioneModifica

Sia   la matrice del cambiamento di base, ossia tale che   con  .

  è una base ortonormale, quindi  , con   e   le rispettive coordinate nella base  .

Se   è ortogonale, allora (ricordando che se  , allora  ):

 . E quindi B è ortonormale.

Viceversa, se   è ortonormale, allora   cioè se   e dunque  

 


Sottospazi perpendicolariModifica

Sia   un sottoinsieme non vuoto di  . Definiamo il sottospazio perpendicolare di  

 

La dimostrazione che   è effettivamente un sottospazio è semplice e la omettiamo per non appesantire ancora di più questa lezione già di per sé parecchio onerosa.

Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)Modifica

Sia   un sottospazio di  ,  . Allora

 
DimostrazioneModifica

Se   la tesi è banale perché  .

Sia allora   e e fissiamo una base ortonormale  .Preso comunque   , esso sarà generato dai vettori della base   con  .dunque il suo ortogonale è il sottospazio generato dai vettori della base ortogonali a   cioè da   altrimenti esisterebbe un altro sottospazio perpendicolare a  , per definizione di base ortonormale, non incluso in  .Dunque   occorre dimostrare come i due sottospazi siano in somma diretta. Per ogni  , si ha che   è ortogonale a  , dunque la loro intersezione è necessariamente  (non esiste nessun vettore di   parallelo a un vettore di  ). segue che  . dunque abbiamo dimostrato che i due sottospazi sono in somma diretta. ciò cnclude la dimostrazione.

ProposizioneModifica

Siano   sottospazi di  . Allora

  1.  
  2.  
DimostrazioneModifica

1. sia   una base ortonormale di  . Sia   sottospazio di  . dunque   ha come base   con  . sia   il sottospazio di   generato dagli altri vettori della base ortonormale   (si è dimostrato in precedenza che   sono in somma diretta). dunque   e   devono essere anch'essi in somma diretta e la loro somma deve essere  . dunque una base di  ) dev'essere   ma  .

2. sia   base ortonormale di  . Sia   e   con  . una base di   sarà   e una base di   sarà  . dunque si nota facilmente che  , e i due coincidono se e solo se   ovvero se coincidono anche   e  .