Forme bilineari

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lezione
Forme bilineari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Geometria analitica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

Forme bilineariModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo  . Una applicazione

 

si dice forma bilineare su   se gode delle seguenti proprietà:

  1.  
  2.  
  3.  

 


Inoltre   si dice simmetrica se

 

mentre si dice antisimmetrica se

 

sempre per ogni  .

Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.

  1. La forma bilineare nulla   è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
  2. Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia   e consideriamo i vettori colonna  , abbiamo
     
    Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
  3. Se la matrice dell'esempio 2   è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su   definita come
 

Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.

Sia   un  -spazio vettoriale di dimensione   e sia   una sua base. Sia inoltre   una forma bilineare su  . Allora la matrice di   rispetto alla base appena definita è

 


Prodotti scalariModifica

Sia   un campo ordinato. Una forma bilineare simmetrica su   si dice prodotto scalare se

 

Il prodotto scalare si indica con il simbolo  .

Con lo stesso simbolo viene denotato anche il prodotto scalare definito positivo, ossia un prodotto scalare tale che:  .

Quel prodotto scalare tale che

 

si indica con   e si chiama prodotto scalare standard.


Uno spazio vettoriale   nel quale è definita l'operazione di prodotto scalare, si indica con
 
e prende il nome di spazio vettoriale euclideo.


Teorema (Disuguaglianza di Schwarz)Modifica

Siano  . Allora

 

e l'uguaglianza vale se e solo se   e   sono linearmente dipendenti.


DimostrazioneModifica

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.

Sia   un vettore combinazione lineare di   e  , quindi  . Per la definizione di prodotto scalare:

 .

Prendendo   tale che   e   otteniamo al secondo membro

 

.

Dividendo ambo i membri per  , che è strettamente positivo perché abbiamo supposto   non nullo, otteniamo

 

L'eguaglianza vale se e solo se:

 , cioè   e   sono linearmente dipendenti.

 


Norma di un vettoreModifica

Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore   come

 


Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come  . La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:

  1.  
  2.  
  3.   e vale l'uguaglianza se e solo se   e   sono paralleli.

La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:

  

 


Vettori e insiemi ortogonaliModifica

Due vettori   si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se  .

Sia   un insieme di vettori non nulli di  . Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se

 .

Nel caso  , cioè  , allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.


Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

LemmaModifica

Sia   un insieme ortogonale. Allora

  1. i   sono linearmente indipendenti;
  2. Se  ,   è una base (ortogonale) di  ;
  3.  , il vettore   è ortogonale a ciascuno di essi.


DimostrazioneModifica

1. Basta dimostrare che se due vettori non nulli sono ortogonali, allora sono indipendenti.

Siano   e   due vettori non nulli, e tali che  . Sia   un qualunque vettore combinazione lineare di   e  , ossia  .

Devo dimostrare che   implica che  .

Sia  . Allora deve succedere che

 

Quindi  .

I due vettori sono non nulli, quindi i due prodotti scalari sono positivi, e quindi, affinché l'eguaglianza valga, deve essere che   e   devono essere nulli, da cui segue la tesi.

2. Dalla 1. segue che un insieme di   vettori indipendenti in uno spazio   di dimensione   è una base.

3. Fissiamo un indice  , e sia   un vettore della base ortogonale. Prendiamo un vettore  , e sia   il vettore definito nell'enunciato. Ecco cosa succede:

 

Visto che stiamo in una base ortogonale,  , e quindi la sommatoria si riduce al termine  .

In definitiva:  .

Tutto ciò è vero, qualunque sia   e qualunque sia  , ossia la tesi.

 


Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-SchmidtModifica

Sia   una base di  . Allora   costituito dai vettori

 
 
 
 

è una base ortogonale.


DimostrazioneModifica

Osserviamo che   e che ogni   è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche   fosse nullo, avremmo

  e questo contraddice l'ipotesi che   sia una base.

Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni   è ortogonale al vettore   che lo precede nella n-upla  , dunque   è un insieme ortogonale.

Sempre per il Lemma deduciamo che i   sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.

 


Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

Proposizione (esistenza di una base ortonormale)Modifica

Sia   una base ortogonale di  . Esiste allora una base ortonormale costituita dai vettori

 


DimostrazioneModifica

 

Dunque tutti i vettori   sono ortonormali.

 


EsempiModifica

  1. Sia   di dimensione 4 e sia   una base di   ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori
 

.

Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.
 
 
   
 

Dunque   è una base ortogonale di  .

ProposizioneModifica

Sia   una base ortonormale dello spazio euclideo  . Poniamo inoltre   e  . Allora

 


DimostrazioneModifica