Serie numeriche

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Serie numeriche
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%.

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DefinizioneModifica

Sia   (con  ) una successione di numeri reali.

Diciamo serie di termine generale   la scrittura formale  , e la successione   prende il nome di successione delle somme parziali della serie.

Consideriamo ora il limite per   della successione  .

Se tale limite esiste ed è finito, la serie si dice convergente; se il limite esiste ed è uguale a   oppure a  , la serie si dice divergente (positivamente o negativamente), ed in entrambi i casi, la serie si dice regolare.

Se invece il limite non esiste, la serie si dice indeterminata.

EsempioModifica

La serie di Mengoli è definita come:

 

Si dimostra, utilizzando il principio di induzione (lo studente può verificarlo per esercizio), che:

 

da cui:

 

La serie è quindi convergente.

Proprietà basilariModifica

Lo studente può facilmente verificare, tramite le nozioni di limite di successione e di sommatoria, che:

Se le serie di termini generali   e   sono regolari, e se anche la serie di termine generale   è regolare, allora risulta:

 

e lo stesso vale per:

 

inoltre:

 


Se la serie di termine generale   è regolare, allora la serie di termine generale  , con   numero reale, è anch'essa regolare, e risulta:

 


Serie convergentiModifica

Condizione necessaria per la convergenza di una serieModifica

Se la serie   è convergente, allora  

È importante ricordare che la condizione è necessaria, ma non sufficiente.

DimostrazioneModifica

Siano   la successione delle somme parziali, ed   il valore a cui essa converge (per ipotesi); poiché:

 ,  

risulta:

 

 


 Nota:
inserire collegamento a serie armonica come esempio che la condizione non è sufficiente

Criterio di Cauchy per le serieModifica

  converge se e solo se   esiste   tale che:

 

DimostrazioneModifica

Sia   la successione delle somme parziali.

Per il criterio di Cauchy per le successioni,   converge se e solo se   esiste   tale che   per  .

Se prendiamo   allora   per qualche  , con  ; l'asserto segue allora dal fatto che:

 .

 


Teorema del restoModifica

DimostrazioneModifica

Serie a termini non negativiModifica

Una serie   si dice a termini non negativi (positivi) se  .

La sua successione   delle somme parziali è monotona non descrescente (crescente); risulta infatti  :

 

In base al teorema di esistenza del limite di una successione monotona, risulta vero il seguente teorema sulle serie a termini non negativi:

Una serie   a termini non negativi è regolare, cioè non può essere indeterminata;

In particolare può solo convergere o divergere positivamente.


Criteri di convergenza per serie a termini non negativiModifica

È spesso complicato calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali; per questo motivo può essere utile avere degli strumenti per stabilire a priori il carattere di una serie;

I seguenti criteri sono validi per serie a termini non negativi.

Criterio del confrontoModifica

Siano   e   due successioni tali che   con   fissato.

Si ha:

 

 

DimostrazioneModifica

Criterio degli infinitesimiModifica

Sia   una successione a termini non negativi. Supponiamo che, fissato un numero reale   esista il limite:
 
Si ha:
 
 

DimostrazioneModifica

Criterio del rapportoModifica

Si ha la serie a termini positivi   tale che esista  

Essa:

- converge se  

- diverge se  

- il criterio non è risolutivo se  

DimostrazioneModifica

Se   possiamo definire un numero k compreso tra l ed 1 per ogni n maggiore di un certo N abbastanza grande.

 

da cui

 

  è una costante ininfluente ai fini della determinazione del carattere della serie.

  è una serie geometrica di ragione k minore di 1 e che quindi converge.

Quindi dato che una successione maggiorante di   risulta convergente, anche   risulta convergente.

Criterio della radiceModifica

DimostrazioneModifica

Supponiamo che il limite di   sia un certo numero L < 1. Allora puoi fissare un numero q nell'intervallo aperto (L , 1), cioè un numero q STRETTAMENTE maggiore di L e STRETTAMENTE minore di 1. Applica la definizione di limite alla successione   scegliendo un particolare  , precisamente   (puoi farlo perché q - L è positivo); per tutti gli indici n da un certo N in avanti   sarà compreso tra   ed  , cioè tra 2L - q e q. Ciò significa che per tutti gli indici n sufficientemente grandi hai la disuguaglianza  . Il primo n per il quale vale la disuguaglianza appena detta è N: dunque è  , cioè   (occhio! qui si utilizza il fatto che i termini sono positivi, altrimenti le disuguaglianze cambiano verso e il criterio va a farsi friggere). Ma abbiamo anche  , il che implica  . Proseguendo in questo modo hai per un generico k la disuguaglianza  . Ma questo significa che la serie (per n da N a infinito) di   si maggiora con la costante   moltiplicata per la serie (per n da N a infinito) di  , che è una serie geometrica convergente, in quanto ha ragione minore di 1. Per il criterio del confronto, la serie (per n da N a infinito) di   converge (nota che anche qui si usa l'ipotesi serie a termini positivi, perché altrimenti il criterio del confronto non vale). Abbiamo ovviamente tralasciato i primi termini della serie (fino all'indice N - 1), ma questo non è un problema, perché il carattere di una serie non cambia eliminando o alterando un numero finito di termini..

Serie AlternateModifica

Una serie del tipo  , con  , si dice serie alternata; la successione delle somme parziali corrispondente sarà:

 

Seguono un criterio di convergenza specifico per serie di questo tipo, ed un teorema valido per ogni tipo di serie, ma molto utile nello studio del carattere di quelle alternate.

Criterio di convergenza per le serie alternateModifica

Per studiare il carattere delle serie a termini alterni del tipo  , con   si usa il criterio di Liebniz:

1) 

2)  è monotona decrescente, ovvero  

allora la serie è convergente.

DimostrazioneModifica

Poiché {an} è decrescente, per ogni n si ha che

 

da cui segue che

 

Similmente

 

e quindi

 

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre   e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre   e  . Per ogni n si ha

 

perché se fosse D>P potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni   da P e termine dispari distanti da D meno di  ; per   sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra P e D diventa più piccola di ogni am; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa P-D, ovvero P = D. Poniamo S = P = D. Essendo S il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni   esiste m tale che   per ogni n>m (n pari). Allo stesso modo, essendo S il limite delle somme parziali dispari, esiste k tale che la disuguaglianza vale per ogni n dispari maggiore di k. Quindi prendendo   la disuguaglianza vale per ogni n>h, per ogni n pari e dispari, e si ha quindi

 

e la serie converge.

Osservazioni sulla dimostrazioneModifica

  • Dalla dimostrazione, abbiamo che  ; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale  -esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:
 ;
calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene
 ,
mentre la somma infinita vale esattamente
 ,
e si nota che  .
  • Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè   dove   soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

Convergenza assolutaModifica

Una serie di termine generale   si dice assolutamente convergente, per definizione, se la serie di termine generale   risulta convergente.

Vale il seguente teorema:

Se una serie converge assolutamente, essa è convergente.

Il teorema è particolarmente utile, perché, qualsiasi sia la successione  , la serie di termine generale   risulta essere a termini non negativi, e può essere quindi analizzata con i relativi criteri.

Una serie che sia convergente, ma non assolutamente convergente, si dice condizionatamente convergente.

DimostrazioneModifica

Per ipotesi, la serie   è convergente.

Consideriamo la serie  ; essa converge per il criterio del confronto, poiché:

 

Dal momento che:

 

Il limite per   del primo mebro deve necessariamente esistere finito, poiché esistono finiti i limiti dei singoli addendi del secondo membro.