Numeri reali (seconda parte)

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Numeri reali (seconda parte)
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Proprietà di Modifica

  1.   è un campo commutativo e totalmente ordinato.
  2.   è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato  , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assolutoModifica

Sia  . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di   il numero reale  .

Proposizione (proprietà del valore assoluto)Modifica

 ,

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.   (disuguaglianza triangolare)


DimostrazioneModifica

La 1 segue dal fatto che   contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di  , si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione  .

La 2 segue dal fatto che   è il massimo dell'insieme  , mentre la 3 è facile da verificare.

Si dimostra la 4. Se  , allora  , mentre se  , allora  , da cui   . In conclusione  . La 4 vale anche se si sostituiscono   e   con rispettivamente   e  . La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti  .

Si dimostra la 6. Se  , allora  , mentre se  , allora  , da cui   . Concludendo  . La 6 vale anche se si sostituiscono   e   con rispettivamente   e  .

Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo   e  , da cui sommando membro a membro si ha  . In conclusione per la proprietà 4

 .

Parte interaModifica

Sia  . Si definisce il parte intera di   il numero intero, denotato con  , tale che:

 .

Si può verificare facilmente che  .

MantissaModifica

Sia   e   parte intera di  . Si definisce il mantissa di   il numero reale, denotato con  , tale che:

 

Si può dimostrare facilmente che  . Infatti sottraendo ai membri di   il numero   ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa,  .

Induzione matematica e insiemi induttiviModifica

Un insieme   tale che

  1.  
  2.  

si dice induttivo.

Insieme dei numeri naturaliModifica

Chiamiamo insieme dei numeri naturali   l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.

Facciamo notare che per definizione   è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.

Teorema (principio di induzione matematica)Modifica

Sia   una proposizione logicamente significativa. Se

  1.   è vera
  2.  

allora   è vera per ogni  .


DimostrazioneModifica

Sia   l'insieme degli   per cui valgano le condizioni 1 e 2.   è allora un insieme induttivo e quindi  . D'altra parte si ha, per ipotesi, che  . In conclusione  .

Importanti considerazioni finaliModifica

LemmaModifica

  non è superiormente limitato.


Dimostrazione del LemmaModifica

Infatti, se lo fosse, per la completezza di   esisterebbe un reale   tale che  . Però, siccome   è il minore di tutti i maggioranti,   non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno   si ha che   e dunque   e abbiamo finito, perché l'ipotesi che   sia un maggiorante è contraddetta.

Teorema (proprietà di Archimede)Modifica

  è archimedeo, ovvero  .


DimostrazioneModifica

Sia invece  . Dunque   e quindi   è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.

Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)Modifica

Siano   e sia  , allora  .


DimostrazioneModifica

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che   da cui si evince facilmente che  . Essendo   archimedeo, allora esisterà un   tale che

 .

Ora notando che

 

si ha

 .

Dividendo per   tutti i tre membri si ricava

 

in cui  .

Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)Modifica

Siano   tali che  , allora  .


DimostrazioneModifica

Dall'ipotesi   segue che  . Per il precedente teorema, esiste almeno un numero   tale che

 ,

da cui, aggiungendo a tutti i membri  ,

 .

Non è difficile verificare che  .

IntervalliModifica

Terminiamo con la seguente conclusione.

Dati   tali che  , l'insieme   contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.


Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati  ,

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .

Poniamo inoltre  .