Numeri reali (seconda parte)
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Proprietà di
modifica- è un campo commutativo e totalmente ordinato.
- è completo.
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.
Valore assoluto
modificaSia . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di il numero reale .
Proposizione (proprietà del valore assoluto)
modifica,
- (disuguaglianza triangolare)
Dimostrazione
modificaLa 1 segue dal fatto che contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di , si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione .
La 2 segue dal fatto che è il massimo dell'insieme , mentre la 3 è facile da verificare.
Si dimostra la 4. Se , allora , mentre se , allora , da cui . In conclusione . La 4 vale anche se si sostituiscono e con rispettivamente e . La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti .
Si dimostra la 6. Se , allora , mentre se , allora , da cui . Concludendo . La 6 vale anche se si sostituiscono e con rispettivamente e .
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo e , da cui sommando membro a membro si ha . In conclusione per la proprietà 4
Parte intera
modificaSia . Si definisce parte intera di il numero intero, denotato con , tale che:
Si può verificare facilmente che .
Mantissa
modificaSia e parte intera di . Si definisce il mantissa di il numero reale, denotato con , tale che:
Si può dimostrare facilmente che . Infatti sottraendo ai membri di il numero ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa, .
Induzione matematica e insiemi induttivi
modificaUn insieme tale che
si dice induttivo.
Insieme dei numeri naturali
modificaChiamiamo insieme dei numeri naturali l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.
Facciamo notare che per definizione è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.
Teorema (principio di induzione matematica)
modificaSia una proposizione logicamente significativa. Se
- è vera
allora è vera per ogni .
Dimostrazione
modificaSia l'insieme degli per cui valgano le condizioni 1 e 2. è allora un insieme induttivo e quindi . D'altra parte si ha, per ipotesi, che . In conclusione .
Importanti considerazioni finali
modificaLemma
modificanon è superiormente limitato.
Dimostrazione del Lemma
modificaInfatti, se lo fosse, per la completezza di esisterebbe un reale tale che . Però, siccome è il minore di tutti i maggioranti, non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno si ha che e dunque e abbiamo finito, perché l'ipotesi che sia un maggiorante è contraddetta.
Teorema (proprietà di Archimede)
modificaè archimedeo, ovvero .
Dimostrazione
modificaSia invece . Dunque e quindi è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.
Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)
modificaSiano e sia , allora .
Dimostrazione
modificaDalle ipotesi del Teorema abbiamo che da cui si evince facilmente che . Essendo archimedeo, allora esisterà un tale che
Ora notando che
si ha
Dividendo per tutti i tre membri si ricava
in cui .
Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)
modificaSiano tali che , allora .
Dimostrazione
modificaDall'ipotesi segue che . Per il precedente teorema, esiste almeno un numero tale che
da cui, aggiungendo a tutti i membri ,
Non è difficile verificare che .
Intervalli
modificaTerminiamo con la seguente conclusione.
Dati tali che , l'insieme contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.
Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati ,
Poniamo inoltre .