Numeri reali (seconda parte)

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Numeri reali (seconda parte)
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%

Proprietà di

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  1.   è un campo commutativo e totalmente ordinato.
  2.   è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato  , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assoluto

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Sia  . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di   il numero reale  .

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

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 ,

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.   (disuguaglianza triangolare)


Dimostrazione
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La 1 segue dal fatto che   contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di  , si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione  .

La 2 segue dal fatto che   è il massimo dell'insieme  , mentre la 3 è facile da verificare.

Si dimostra la 4. Se  , allora  , mentre se  , allora  , da cui   . In conclusione  . La 4 vale anche se si sostituiscono   e   con rispettivamente   e  . La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti  .

Si dimostra la 6. Se  , allora  , mentre se  , allora  , da cui   . Concludendo  . La 6 vale anche se si sostituiscono   e   con rispettivamente   e  .

Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo   e  , da cui sommando membro a membro si ha  . In conclusione per la proprietà 4

 .

Parte intera

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Sia  . Si definisce parte intera di   il numero intero, denotato con  , tale che:

 .

Si può verificare facilmente che  .

Mantissa

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Sia   e   parte intera di  . Si definisce il mantissa di   il numero reale, denotato con  , tale che:

 

Si può dimostrare facilmente che  . Infatti sottraendo ai membri di   il numero   ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa,  .

Induzione matematica e insiemi induttivi

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Un insieme   tale che

  1.  
  2.  

si dice induttivo.

Insieme dei numeri naturali

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Chiamiamo insieme dei numeri naturali   l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.

Facciamo notare che per definizione   è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.

Teorema (principio di induzione matematica)

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Sia   una proposizione logicamente significativa. Se

  1.   è vera
  2.  

allora   è vera per ogni  .


Dimostrazione
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Sia   l'insieme degli   per cui valgano le condizioni 1 e 2.   è allora un insieme induttivo e quindi  . D'altra parte si ha, per ipotesi, che  . In conclusione  .

Importanti considerazioni finali

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  non è superiormente limitato.


Dimostrazione del Lemma
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Infatti, se lo fosse, per la completezza di   esisterebbe un reale   tale che  . Però, siccome   è il minore di tutti i maggioranti,   non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno   si ha che   e dunque   e abbiamo finito, perché l'ipotesi che   sia un maggiorante è contraddetta.

Teorema (proprietà di Archimede)

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  è archimedeo, ovvero  .


Dimostrazione
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Sia invece  . Dunque   e quindi   è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.

Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)

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Siano   e sia  , allora  .


Dimostrazione
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Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che   da cui si evince facilmente che  . Essendo   archimedeo, allora esisterà un   tale che

 .

Ora notando che

 

si ha

 .

Dividendo per   tutti i tre membri si ricava

 

in cui  .

Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)

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Siano   tali che  , allora  .


Dimostrazione
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Dall'ipotesi   segue che  . Per il precedente teorema, esiste almeno un numero   tale che

 ,

da cui, aggiungendo a tutti i membri  ,

 .

Non è difficile verificare che  .

Intervalli

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Terminiamo con la seguente conclusione.

Dati   tali che  , l'insieme   contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.


Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati  ,

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .

Poniamo inoltre  .