Numeri reali (seconda parte)
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Proprietà di modifica
- è un campo commutativo e totalmente ordinato.
- è completo.
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.
Valore assoluto modifica
Sia . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di il numero reale .
Proposizione (proprietà del valore assoluto) modifica
,
- (disuguaglianza triangolare)
Dimostrazione modifica
La 1 segue dal fatto che contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di , si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione .
La 2 segue dal fatto che è il massimo dell'insieme , mentre la 3 è facile da verificare.
Si dimostra la 4. Se , allora , mentre se , allora , da cui . In conclusione . La 4 vale anche se si sostituiscono e con rispettivamente e . La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti .
Si dimostra la 6. Se , allora , mentre se , allora , da cui . Concludendo . La 6 vale anche se si sostituiscono e con rispettivamente e .
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo e , da cui sommando membro a membro si ha . In conclusione per la proprietà 4
Parte intera modifica
Sia . Si definisce il parte intera di il numero intero, denotato con , tale che:
Si può verificare facilmente che .
Mantissa modifica
Sia e parte intera di . Si definisce il mantissa di il numero reale, denotato con , tale che:
Si può dimostrare facilmente che . Infatti sottraendo ai membri di il numero ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa, .
Induzione matematica e insiemi induttivi modifica
Un insieme tale che
si dice induttivo.
Insieme dei numeri naturali modifica
Chiamiamo insieme dei numeri naturali l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.
Facciamo notare che per definizione è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.
Teorema (principio di induzione matematica) modifica
Sia una proposizione logicamente significativa. Se
- è vera
allora è vera per ogni .
Dimostrazione modifica
Sia l'insieme degli per cui valgano le condizioni 1 e 2. è allora un insieme induttivo e quindi . D'altra parte si ha, per ipotesi, che . In conclusione .
Importanti considerazioni finali modifica
Lemma modifica
non è superiormente limitato.
Dimostrazione del Lemma modifica
Infatti, se lo fosse, per la completezza di esisterebbe un reale tale che . Però, siccome è il minore di tutti i maggioranti, non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno si ha che e dunque e abbiamo finito, perché l'ipotesi che sia un maggiorante è contraddetta.
Teorema (proprietà di Archimede) modifica
è archimedeo, ovvero .
Dimostrazione modifica
Sia invece . Dunque e quindi è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.
Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali) modifica
Siano e sia , allora .
Dimostrazione modifica
Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che da cui si evince facilmente che . Essendo archimedeo, allora esisterà un tale che
Ora notando che
si ha
Dividendo per tutti i tre membri si ricava
in cui .
Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali) modifica
Siano tali che , allora .
Dimostrazione modifica
Dall'ipotesi segue che . Per il precedente teorema, esiste almeno un numero tale che
da cui, aggiungendo a tutti i membri ,
Non è difficile verificare che .
Intervalli modifica
Terminiamo con la seguente conclusione.
Dati tali che , l'insieme contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.
Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati ,
Poniamo inoltre .