Esistenza del limite di una successione reale

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Successioni monotone

Sia $(a_{n})$ una successione reale tale che

$a_{n}\leq a_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a_{n}<a_{n+1}$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

• $a_{n}\geq a_{n+1}$ si dice monotona decrescente;
• $a_{n}>a_{n+1}$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_{n})\uparrow$ o $(a_{n})\downarrow$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Sia $(a_{n})$ una successione monotona. Allora $(a_{n})$ ammette limite e

(i) $a_{n}\uparrow \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

(ii) $a_{n}\downarrow \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

Dimostrazione

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $\mathbb {R}$, sappiamo che esiste $\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in \mathbb {R}$. Sia $\lambda =\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$.

Allora

$a_{n}\leq \lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N}$
$\Downarrow$

$\forall \varepsilon >0,a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N}$
$\Downarrow$

$\forall \varepsilon >0,a_{n}-\lambda <\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N}$

Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,

$\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{n}+\varepsilon >\lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
$\Downarrow$

$\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{n}-\lambda >-\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

e siccome la successione è crescente, $a_{n}\geq a_{m},\ \forall n>m$ e quindi $\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{n}-\lambda \geq a_{m}-\lambda >-\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$.
Dunque abbiamo verificato che:

$\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :|a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè $\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty$. Analogamente a prima, abbiamo che $\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{m}>k$.

Sempre per la monotonia di $a_{n}$, sappiamo che $a_{n}\geq a_{m},\ \forall n>m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

$\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Dunque la successione è divergente e

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty$

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.

$\Box$

Esempio (il numero di Nepero)

(esercizio su nepero)

Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

Dimostrazione

Nota:
problemi con la dimostrazione poco chiara