Esistenza del limite di una successione reale

Analisi matematica > Esistenza del limite di una successione reale

appunti
Esistenza del limite di una successione reale
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Successioni monotoneModifica

Sia   una successione reale tale che

 

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se   si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

  •   si dice monotona decrescente;
  •   si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo   o   per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)Modifica

Sia   una successione monotona. Allora   ammette limite e

(i)  

(ii)  


DimostrazioneModifica

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di  , sappiamo che esiste  . Sia  .

Allora

 
 

 
 

 

Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,

 
 

 

e siccome la successione è crescente,   e quindi  .
Dunque abbiamo verificato che:

 

Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè  . Analogamente a prima, abbiamo che  .

Sempre per la monotonia di  , sappiamo che   anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

 

Dunque la successione è divergente e

 

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.

 


Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)

Teorema (di Bolzano-Weiestrass)Modifica

Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

DimostrazioneModifica

 Nota:
problemi con la dimostrazione poco chiara