Vincoli e gradi di libertà

Indice

Introduzione

Ciò che approfondiremo in questa lezione è la funzione dei vincoli per limitare il moto di un corpo.

Negli oggetti reali ogni oggetto composto da più elementi utilizza dei sistemi per tenere assieme questi stessi elementi: bullonature, saldature, collanti, molle, elastici, incastri etc. Il tipo di sistema utilizzato dipende fondamentalmente dal genere di movimento che deve essere permesso al tale elemento rispetto ad un altro (o, se fissato a terra, rispetto alla terra stessa).

Quel che interessa noi in questa lezione è evidenziare i vincoli basilari che costituiscono i collegamenti reali. Introdurremo perciò dei simboli standard che rappresentano schematicamente i sistemi di vincolo principali, assemblando i quali è possibile rappresentare utilmente le strutture reali.

Tipi di vincoli

In questa sezione introduciamo solamente i principali vincoli, le loro proprietà e la loro simbologia, riferendoci fondamentalmente al collegamento di un corpo a terra (i vincoli tra soli corpi liberi possono comportarsi in modo più complesso, difatti se ne discuterà nei paragrafi successivi).

Incastro

Incastro a terra

L'immagine a lato rappresenta una incastro, probabilmente il vincolo più semplice: esso consiste nel fissare (tramite saldatura o incollatura, serraggio con viti, etc.) l'elemento in questione, che in questo caso è una semplice asta (o asse, la linea spessa) fissata a terra (zona tratteggiata).

L'incastro non permette alcun movimento al corpo (né traslazione né rotazione) e non esiste, quindi, alcun centro di istantanea rotazione. Esso impone 3 GdV, sia in caso di incastro a terra sia in caso di incastro interno tra due corpi.

Cerniera

Cerniera a terra

La cerniera (in immagine) è un vincolo che permette la sola rotazione attorno alla cerniera stessa. Essa viene rappresentata con un cerchio posto tra le estremità dei corpi da congiungere. Se la cerniera è fissata a terra si disegnano dei corti raggi ad indicare questa condizione.

La cerniera permette solo la rotazione attorno ad essa dei corpi rigidi collegati. Ogni traslazione è bloccata: i punti dei due o più corpi uniti da essa sono vincolati ad essere coincidenti nel piano. Questo vincolo impone perciò 2 GdV (le traslazioni sui due assi del secondo corpo), sempre che si tratti di soli due corpi.

Essendo un vincolo doppio la cerniera permette, per il corpo, un solo centro di istantanea rotazione che deve coincidere con la cerniera stessa.

Carrello o Biella

Carrello

Il carrello (in immagine) è un sistema di vincolo che permette la traslazione in una direzione e la rotazione attorno al punto di traslazione. Esso viene rappresentato con tre cerchi contigui ad indicare le ruote del carrello, poi sopra il corpo triangolare del carrello, ed infine il punto di appoggio del corpo rigido collegato, indicato appunto con un cerchio perché permette la rotazione.

Il carrello permette quindi la traslazione nella direzione p e rotazione del corpo collegato attorno al punto P: è vincolata dunque solo la traslazione in direzione n. Esso perciò impone 1 GdV. Tale vincolo, essendo semplice, consente l'esistenza di ∞¹ centri di istantanea rotazione; geometricamente esso impone che il centro di istantanea rotazione del corpo si trovi sulla retta ortogonale alla direzione di scorrimento del carrello, cioè sulla retta n senza tuttavia specificare quale tra gli infiniti punti di tale retta corrisponde a questo centro che dovrà essere determinato con certezza attraverso i teoremi delle catene cinematiche.

Pattino e manicotto

Pattino (a sinistra) e manicotto (a destra)

I sistemi di vincolo di pattino e manicotto li presentiamo assieme perché il secondo è solo un caso limite del primo. Questi vincoli permettono la traslazione in una direzione ma non la rotazione. Il pattino si rappresenta come in figura con una linea parallela al piano di scorrimento ed un'asta, che può avere inclinazione libera, ma fissa.

Il manicotto rappresenta il caso in cui l'inclinazione dell'asta è parallela a quella del piano di scorrimento: si usa infatti disegnare una semplice linea (che può essere anche il solo prolungamento del corpo rigido, se già lineare) che attraversa due superfici vicine e parallele (la cui area è tratteggiata se rappresentano la terra).

Entrambi i vincoli permettono la sola traslazione in una sola direzione, la direzione p, e bloccano sia la traslazione n, che la rotazione dell'asta sul pattino o attorno al manicotto. Perciò possiamo dire che entrambi impongono 2 GdV (sempre nel caso di collegamento di due corpi).

Vincoli comuni a più aste

In generale, ad un singolo vincolo possono congiungersi più d'un solo corpo rigido. Per esempio una cerniera può tenere vincolate a se 3, 4, etc. aste, e può eventualmente anche congiungersi a terra. Lo stesso vale ad esempio per i carrelli.

Incastro tra più aste

Un incastro tra più aste o corpi è banale, poiché coincide col considerare i corpi congiunti come un singolo corpo.

Cerniera tra più aste e/o a terra

Il collegamento tra due aste con cerniera libera (cioè non legata a terra, libera di traslare) oppone 2 GdV alla struttura. Se abbiamo n aste collegate da una cerniera libera, il numero dei GdV risulta: 2(n-1) (Il -1 indica che il primo corpo viene considerato linearmente indipendente rispetto agli altri e può dunque muoversi liberamente)

Se invece la cerniera non è libera ma è a terra, allora la cerniera non può traslare, perciò i GdV aumentano a: 2n

Carrello tra più aste e/o a terra

Se il carrello è a terra (nel senso che il suo piano di scorrimento è la terra) ed è collegato a n aste, i gradi di vincolo da esso imposti sono: 2n-1

Altrimenti, se il carrello scorre lungo un'asta della struttura (e dunque può traslare perpendicolarmente al proprio piano di scorrimento, unitamente all'asta d'appoggio), i gradi di vincolo sono: 2n-3

Pattino o manicotto

La situazione è differente per questi due tipi di vincoli. Ciò perché se si collegano più aste ad un pattino o ad un manicotto, il sistema è equivalente ad uno che abbia le diverse aste incastrate tra loro prima del vincolo (a formare un unico corpo rigido), con la conseguenza che il vincolo veda sempre una sola asta collegata a sé. Per questo motivo in questi casi i GdV sono - indipendentemente dal numero di aste - sempre 2.

Gradi di vincolo: schema riassuntivo

Riassumiamo un questo paragrafo i gradi di vincolo delle diverse giunture nei casi di giuntura asta-terra, asta-asta/e (indicando con n il numero complessivo di aste collegate tra loro).

Vincolo	a terra	su asta (libera/o)
Incastro	3	3
Cerniera	2n	2(n-1)
Carrello	2n-1	1 se n=1; 2n-3 se n>=2
Pattino e manicotto	3n-1	3n-4

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