Moto di un corpo rigido

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Introduzione

Come si è visto nella lezione introduttiva, per individuare posizione e orientazione di un corpo rigido nello spazio (come nel piano) non sono sufficienti tre (o due, se nel piano) coordinate. Infatti un corpo rigido nello spazio può muoversi traslando, secondo le direzioni dei tre assi, e ruotando, attorno alle direzioni dei tre assi.

Traslazione

Un corpo rigido si dice che trasla se tutti i suoi punti si spostano ad una distanza fissa nella stessa direzione. Banalmente, l'orientamento del corpo nello spazio rimane la stessa.

Un corpo può traslare se ha una velocità propria ${\underline {v}}$, oppure se mosso da una o più forze.

Rotazione

Una rotazione è invece il movimento di un corpo che segue una traiettoria circolare. In due dimensioni, cioè sul piano, una figura può ruotare attorno ad un punto detto centro di rotazione; in tre dimensioni, la rotazione avviene intorno ad una retta detta asse di rotazione.

Un corpo rigido dunque ruota se ha una velocità di rotazione propria ω, oppure se spinto a ruotare da una o più forze.

Statica e spostamenti infinitesimi

Istantanea di una ruota in rotolamento e vettori velocità di alcuni punti di essa

Analizzando un corpo statico (o considerandolo tale, per approssimazione) è utile prendere in considerazione solo gli infinitesimi degli spostamenti possibili, sia si tratti di traslazione che si tratti di rotazione.

Ad esempio, prendiamo in considerazione la ruota metallica di un carrello in movimento. Il movimento a velocità costante del carrello fa rotolare la ruota: la ruota appunto ruota attorno al suo asse (consideriamo che essa non scivoli mai) e contemporaneamente trasla, mettiamo a destra, come nell'immagine a lato.

Centriamo il nostro sistema di riferimento nel punto C, considerando u la direzione orizzontale, v la direzione verticale e la rotazione in senso anti-orario come positiva.

Prendiamo in considerazione il centro C della ruota. Se consideriamo gli spostamenti macroscopici, abbiamo:

${\begin{cases}\Delta u=v_{x}\Delta t\\\Delta v=0\end{cases}}$

Questo perché a rotazione non influisce sul punto che è anche centro di rotazione. Che, in forma infinitesima risulta:

${\begin{cases}du=dx\\dv=0\end{cases}}$

Ora invece prendiamo in considerazione il punto O, di contatto tra ruota e terreno. Sappiamo che la velocità tangenziale in O, dovuta alla rotazione, è un vettore diretto nella direzione negativa di u, ovvero in orizzontale:

${\underline {v}}_{rot}={\begin{cases}v_{x}=-\omega R=-{\frac {d\theta }{dt}}R\\v_{y}=0\end{cases}}$

Mentre la velocità dovuta alla traslazione è:

${\underline {v}}_{trasl}={\begin{cases}v_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {y\cdot d\theta }{dt}}\\v_{y}=0\end{cases}}$

quindi la velocità complessiva, composta, vale:

${\underline {v}}={\underline {v}}_{rot}+{\underline {v}}_{trasl}={\begin{cases}v_{x}=-{\frac {d\theta }{dt}}R+{\frac {dx}{dt}}\\v_{y}=0\end{cases}}$

Ora, analizzando i soli spostamenti, trascurando perciò il tempo (dt), abbiamo:

${\underline {v}}={\underline {v}}_{rot}+{\underline {v}}_{trasl}={\begin{cases}du=v_{x}\cdot dt=-d\theta R+dx=-d\theta R+y\cdot d\theta =-d\theta R+R\cdot d\theta =0\\dv=0\end{cases}}$

Questo risultato particolare evidenzia che il punto O è in questo caso quello che si definisce centro di istantanea rotazione (CIR). Il CIR è quindi il centro di rotazione istantanea perché stiamo analizzando una situazione statica o quasi, perciò esso è il centro di rotazione nell'istante in questione, e potrebbe non corrispondere con il centro di rotazione del movimento complessivo del corpo nel tempo. É proprio questo il caso della ruota del carrello, che complessivamente non compie un movimento di rotazione attorno ad un punto, bensì essa compie un movimento di rotolamento, composto da rotazione e traslazione.

Difatti in un movimento nel tempo non vale la proprietà commutativa nell'analisi dei movimenti di traslazione e rotazione: compiere prima la rotazione e poi la traslazione può dare un risultato diverso da compiere le due operazioni in ordine inverso (prima traslando, poi ruotando).