Dinamica del corpo rigido e reazioni vincolari

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Introduzione

In questo set di lezioni ci occupiamo di ciò che causa il movimento cinematico del corpo: parliamo di forze e momenti.

Breve ripasso su forze e momenti

Le forze

Indicheremo le forze con dei vettori, che in quanto tali esprimono una direzione ed un'intensità. Indicheremo tali vettori o con una linea sopra o sotto le lettere che (${\underline {F}}{\mbox{ , o }}{\bar {F}}$), oppure utilizzando la scrittura in grassetto (F).

Sarà spesso utile calcolare la forza risultante, ovvero la sommatoria delle forze che agiuscono su di un punto materiale o su di un corpo rigido (per quest'ultimo vedremo in seguito alcune utili proprietà). Per calcolare la risultante è comodo scomporre ogni forza secondo le sue componenti nelle direzioni degli assi del sistema di riferimento scelto, e poi sommare le componenti di tutte le forze.

Il momento

Relazione tra la forza F, il momento meccanico τ, la quantità di moto p, e il momento angolare L in un sistema vincolato a ruotare in un piano

Il momento meccanico, indicato con $\mathbf {M}$ o anche in ambito anglosassone con $\tau$, è la tendenza di una forza a imprimere una rotazione in un oggetto attorno ad un punto o ad un asse.

Momento angolare prodotto da un braccio ed una forza complanari

Il momento vettoriale della forza è definito come il prodotto vettoriale del braccio r di applicazione (ovvero la distanza tra il centro/asse di rotazione ed il punto di applicazione della forza) per la forza applicata F:

${\boldsymbol {M}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$

Si ricorda che l'operazione di prodotto vettoriale non è commutativa e dipende dal verso del vettore braccio (come da quello - dato - del vettore forza), che va preso a partire dal centro/asse di rotazione verso il punto di applicazione della forza.

Il vettore M (nell'immagine ${\boldsymbol {\tau }}$) nel caso dell'immagine a sinistra sarà perpendicolare al piano dell'immagine, uscente dall'immagine.

Il modulo del momento (per le proprietà del prodotto vettoriale) vale:

$M=rF\sin \theta \,\!$

con θ l'angolo compreso tra i vettori forza e braccio.

Il prodotto vettoriale in notazione matriciale sarà dunque:

$\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\r_{x}&r_{y}&r_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\\\end{bmatrix}}$

Proprietà del momento

Proiezione della forza sulla retta perpendicolare al braccio

• Il momento generato da una forza su di un corpo rigido dipende dal punto nel quale si intende calcolarlo. Un corpo può avere un momento rispetto ad un suo punto, ma non un momento in generale.
• Se il braccio di una certa forza è nullo (r = 0), ovvero se si intende calcolare il momento di una forza rispetto al suo punto di applicazione, allora il momento relativo a tale forza sarà nullo.
• Come si può dedurre dalle proprietà del prodotto vettoriale, se il vettore forza è parallelo a al vettore braccio, allora il momento è nullo. Viceversa, se il vettore forza è perpendicolare al vettore braccio il momento generato dalla forza è il massimo che essa può produrre.
• Per calcolare il momento generato da una forza (non perpendicolare al proprio braccio), è comodo ed equivalente considerare, in luogo della forza, la proiezione della stessa sulla retta passante per il suo punto di applicazione e perpendicolare al braccio. Oppure considerare, il luogo del braccio, la proiezione dello stesso sulla retta perpendicolare a quella di applicazione della forza.

Proprietà di forze e momenti sul corpo rigido

É sempre importante ricordare che stiamo trattando solo corpo rigidi. Difatti possiamo lecitamente traslare qualunque forza sulla propria retta di applicazione, senza influire sulla dinamica del corpo.

Diversamente, se trasliamo una forza su di una retta di applicazione parallela andiamo a modificare il vettore braccio del momento generato da essa. Per compiere questa operazione lecitamente è quindi necessario aggiungere un momento di trasporto, opposto a quello generato dal cambiamento di braccio della forza spostata. Il momento di trasporto in questione varrà il prodotto dell'intensità della forza per la distanza tra ledue rette di applicazione (iniziale e finale).

$\mathbf {M} _{f}=\mathbf {M} _{i}+\mathbf {F} d$

$\mathbf {M} _{i}$: momento iniziale

$\mathbf {M} _{f}$: momento finale

d: distanza tra le rette di applicazione parallele