Successioni di funzioni

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Successioni di funzioni
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Definizione e funzione limiteModifica

Sia  . Sia   l'insieme delle funzioni  . Una successione di funzioni (reali a valori reali) è un'applicazione definita in questo modo:

 

Questa definizione contiene il concetto di successione reale: fissato un qualsiasi   in  ,   è l'applicazione che, ad ogni  , associa il numero reale  .

Si può definire la successione di funzioni anche come una funzione in due variabili, ossia:

 

Con questa definizione viene messa in evidenzia la dipendenza della funzione da   e da  .

Avendo visto che   può essere espressa come un'applicazione che, ad ogni   in  , associa   nell'insieme delle successioni reali, si può trasportare il concetto di limite di una successione reale al limite di una successione di funzioni, definita nel modo seguente:

sia  . Tale insieme viene definito insieme di convergenza della successione.

Supponiamo  . Allora è possibile definire l'applicazione:  .

  è definita come la funzione limite della successione  , ossia  .

Definizione delle convergenzeModifica

Una successione di funzioni  , definita in  , si dice che converge puntualmente a una funzione   in   se, e solo se   è limite della successione di  , ossia, per la definizione di limite di una successione reale:

 

Va notato che, in base a questa definizione,   dipende non solo da  , ma anche, in generale, da  .

Sia   una successione di funzioni definita in  . Allora essa converge uniformemente a   in   se, e solo se, in poche parole,   dipende solo da  , ossia:

 

Per definizione, se una successione di funzioni converge puntualmente(risp. uniformemente) alla funzione limite in  , allora è chiaro che converge puntualmente(risp. uniformemente)  .

La convergenza uniforme ha la seguente e utile equivalenza, facilmente dimostrabile:

  •  , definito in  , converge uniformemente a   in  
  •  , ossia,  

Questa equivalenza è molto utile per verificare la convergenza uniforme.

EsempiModifica

 Nota:
inserire degli esempi

Collegamento tra le due convergenzeModifica

Se   converge uniformemente a   in  , allora converge puntualmente in  .

DimostrazioneModifica

Sia fissato  , e sia   tale che  .
È chiaro che, per la proprietà dell'estremo superiore, se scelgo  ,  .
Per l'arbitrarietà di   e  , si è giunti alla tesi.

Il viceversa non vale in generale.

 Nota:
mostrarlo con un esempio

 


Criteri di CauchyModifica

Criterio di Cauchy per la convergenza puntualeModifica

  converge puntualmente a   in   se e solo se  

DimostrazioneModifica

 
  converge puntualmente in  , quindi,  , la successione numerica   è convergente ma, come è noto, ogni successione convergente è di Cauchy, quindi vale la tesi.
 

In base alle ipotesi,  , la successione numerica   è di Cauchy ma, in base al teorema di Cauchy sulle successioni numeriche, essa deve convergere a un valore  , e quindi esiste ed è finito,  , il limite della successione di funzioni, che denotiamo con  , da cui segue la tesi.

 


Criterio di Cauchy per la convergenza uniformeModifica

  converge uniformemente a   in   se e solo se  

DimostrazioneModifica

 

Dall'arbitrarietà di  , segue la tesi.

   

  è di Cauchy in  , quindi   e quindi c'è convergenza puntuale.
Per il teorema della permanenza del segno, se  , allora  . Dall'arbitrarietà di  , segue la tesi.
 


Convergenza uniforme e continuitàModifica

Teorema di inversione dei limitiModifica

Bisogna ricordare che, se  , allora   è chiamato derivato di  , ed è l'insieme dei suoi punti di accumulazione (se si ha bisogno, rivederli qui).

Supponiamo che  . Sia   converge uniformemente a   in  . Sia  . Supponiamo inoltre che  . Allora:

 , ossia,  
.

Attenzione: la validità del teorema viene perduta se si sostituisce nelle ipotesi la convergenza uniforme con quella puntuale!

DimostrazioneModifica

Sia fissato  . Per il criterio di Cauchy uniforme, sia   tale che  .
Sapendo che  , allora, per il teorema della permanenza del segno (se si vuole rivederlo, qui),  .
Ciò mostra che la successione   è di Cauchy, quindi converge verso un  , e quindi  .

Sia fissato  . Allora:
 

 
Siano fissati   e  . Per ipotesi  , quindi  .
Ciò implica che fissato  .

Per l'arbitrarietà di  , è stato dimostrato che:  

 


Corollario (Teorema sulla continuità del limite)Modifica

Sia   converge uniformemente a   in  . Sia  . Se,  ,   è continua in  , allora   è continua in  

Attenzione:vale la stessa considerazione fatta nel precedente teorema.

DimostrazioneModifica

 , da cui la tesi.

 


Criterio 1Modifica

Sia   una successione di funzioni continue, che converge uniformemente a   in  . Se   una successione reale che converge a  , allora:

 .

DimostrazioneModifica

 
Sia fissato  .
Per l'uniforme convergenza,  .
Per il teorema sulla continuità del limite,  , e quindi  .

In conclusione, fissato  , da cui la tesi.

 


Convergenza uniforme ed integrabilitàModifica

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integraleModifica

Sia   una successione di funzioni integrabili (secondo Riemann) in   che converge uniformemente a   in  . Allora   è integrabile, e vale la formula:

 

DimostrazioneModifica

 .
Ricordando che  , e   (rivedere Integrale di Riemann), allora si può dire che:
 
 , per l'uniforme convergenza della successione.
Ciò implica che  , e quindi   è integrabile.

Inoltre:  
 .
Sia fissato  . Per ipotesi  .

Quindi:  , cioè la tesi.

 


Convergenza uniforme e derivabilitàModifica

Dimostriamo i seguenti due lemmi:

Lemma 1Modifica

Sia   una successione di funzioni derivabili in  . Supponiamo che   sia convergente e che   converga uniformemente in  . Allora   converge uniformemente in  

DimostrazioneModifica

  e per   si ha:  
 
. Per il teorema di Lagrange, applicato alla funzione  ,   (supponiamo  ) tale che:
 .
Da ciò segue che:  .
Fissato  .
Per il criterio di Cauchy uniforme,  
Per il criterio di Cauchy per le successioni reali,  
Cioè:  

 


Lemma 2Modifica

Sia   una successione di funzioni derivabili che converge uniformemente in  . Sia  , e sia:
 
Se   converge uniformemente in  , allora   converge uniformemente in  

DimostrazioneModifica

Per   e per  ,   Per il teorema di Lagrange, applicato a  ,   se  , altrimenti in  , tale che:  .
Per il criterio di Cauchy uniforme, applicato a  ,  .

Quindi   converge uniformemente in  , cioè la tesi.

 


Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivataModifica

Sia   una successione di funzioni derivabili in un intervallo  . Supponiamo che   sia convergente e che   converga uniformemente in ogni  . Allora   converge uniformemente in ogni   verso una funzione  , derivabile in ogni   e risulta:  

DimostrazioneModifica

Dal lemma 1 segue che   converge uniformemente in ogni  . Sia   la funzione limite. Fissati  , e fissato  , definiamo:
 ,
 .
Per il lemma 2,   converge uniformemente verso   in  .
Dal teorema di inversione dei limiti si ha:  .
Per l'arbitrarietà di  ,  e  , segue la tesi.

 


Convergenza uniforme e monotoniaModifica

Teorema del Dini per le successioni di funzioniModifica

Sia   una successione di funzioni continue in  , monotona rispetto a n (cioè, se ad esempio crescente:  ), convergente puntualmente in   verso una funzione continua  . Allora   converge uniformemente verso   in  .

DimostrazioneModifica

Supponiamo che   sia monotona crescente (quindi  ).
Supponiamo, per assurdo, che   non converga uniformemente in  . Quindi   tale che:

 

Osserviamo che  .
Fissato  . Allora  
Fissato  , quindi  
La successione  , quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass,  
Sappiamo che  .
Per il teorema della permanenza del segno,  
Per lo stesso teorema  , e quindi 0>0, ovviamente assurdo.

L'errore è sorto nell'aver supposto che   non converga uniformemente in  , e quindi la tesi è verificata.

 


Teorema 2Modifica

Sia   una successione di funzioni, definite in   e monotone rispetto alla variabile  , che converge puntualmente in una funzione continua   in  . Allora   è crescente, e la convergenza è uniforme in  

DimostrazioneModifica

Fissato  . Per ipotesi   è continua in  , e quindi, per il teorema di Cantor, uniformemente continua, e quindi:
 
Visto che c'è convergenza puntuale, siano   i raggi di convergenza puntuale associati agli   (e a  , ovviamente), e sia  .
 .
Fissati   e  . Ecco cosa succede:
 
 .
Scegliendo un  , allora:  
 
 
Sempre per  ,  

E quindi è stato mostrato che,  , cioè la tesi.

 


Compattezza delle funzioni continue in Modifica

Sia   una successione di funzioni definite in un sottoinsieme di   contenente  .
Tali funzioni si dicono equilimitate in   se e solo se  .

Tali funzioni si dicono equicontinue in   se e solo se  .

Teorema di Ascoli-ArzelàModifica

Se   è una successione di funzioni equilimitate ed equicontinue in  , allora essa ammette una successione estratta   convergente uniformemente in  .

DimostrazioneModifica

Sia   l'insieme dei razionali di  . Essendo   di cardinalità infinita, allora  , sottoinsieme di cardinalità infinita, è equipotente a  , ma esso è a sua volta equipotente a  , e quindi   lo possiamo scrivere come una successione numerica:  .

  • Diagonale di Cantor:

Consideriamo  : la successione   è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta   (non è la successione delle derivate) convergente in  . Sia   il limite di tale successione.
Consideriamo  : la successione   è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta   (non è la successione delle derivate seconde) convergente in  . Sia   il limite di tale successione.
Procedendo nella stessa maniera   volte, si trova che:
Consideriamo  la successione   è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta   (non è la successione delle derivate k-esime) convergente in  . Sia   il limite di tale successione.
Inoltre, per ogni     converge a  .

Procedendo indefinitamente, si è costruita la seguente tabella di successioni:
 

Adesso consideriamo la successione diagonale, ossia la seguente successione:  . Per l'osservazione fatta precedentemente, per ogni  ,   converge a  .

  • Successione di Cauchy:

Fissato  , sia   tale che  . Suddividiamo   in   sottointervalli   aventi ampiezza minore di  , e quindi  , e in ciascuno degli intervalli  , scegliamo un razionale, siano essi  .
Allora,  . Inoltre, per ogni  ,   converge, e quindi essa è di Cauchy, e quindi  .
Fissato  , sia   tale che  . Allora, per ogni  :

 , e quindi   soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi   converge uniformemente in  .