Punti di accumulazione e chiusura di un insieme

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Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Intervalli e intorniModifica

Sia   e  , si dice intorno di   di raggio   l'intervallo

 

Rappresentiamo poi l'insieme degli intorni di   con

 

Punti di accumulazioneModifica

Sia  , un punto   si dice punto di accumulazione di   se per ogni intorno di   esistono punti di   diversi da   stesso.

Formalmente:

  punto di accumulazione di  

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di   si indica con   e si chiama derivato di  .

Se un punto appartiene ad   ma non al suo derivato, tale punto si dice punto isolato di  .

ProposizioneModifica

Sia   finito. Allora  .

DimostrazioneModifica

Supponiamo   (altrimenti l'affermazione è banale) e  . Prendiamo poi un qualsiasi numero reale   e poniamo

 

  in altri termini, è il raggio più piccolo dell'intervallo che possiamo avere in   per ogni numero reale che scegliamo. Si ha

 ,  .

Supponiamo, per assurdo, che  . Allora, esiste   e dunque   (per un opportuno  ,   e   (per la definizione di punto di accumulazione). Ma questo contraddice la definizione che abbiamo dato di   (infatti   è già il raggio minimo di un intervallo ottenibile in   con il numero reale  ) e prova l'asserto.

 


LemmaModifica

Sia   e  . Allora   è un punto di accumulazione di   se e solo se esiste una successione in  

Dimostrazione del LemmaModifica

    implica ovviamente che  .

Allora questo varrà anche per l'intervallo di raggio   , cioè

 

Per l'assioma della scelta, esiste una funzione che ad ogni naturale associa un elemento di  . Tale funzione è allora una successione ed è convergente in  . Infatti   sono successioni convergenti a   e

 .

Dunque, per il teorema del confronto, la successione converge a  .

  (completare la dimostrazione)

Teorema (esistenza di punti di accumulazione per insiemi infiniti e limitati)Modifica

Sia   un sottoinsieme di   infinito e limitato. Allora   ha punti di accumulazione.

DimostrazioneModifica

Cerchiamo di ricondurci al caso del lemma precedente.
La prima ipotesi ci dice che   è infinito, dunque esiste una successione in   di valori distinti, cioè  .
Inoltre, la seconda ipotesi ci dice che   è limitato e dunque sarà limitata anche la nostra successione. Allora, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un qualche punto  .

Ora, se ogni termine della sottosuccessione è diverso da  , per il lemma precedente   è un punto di accumulazione di   in quanto esiste una successione in   convergente a  . Se invece esiste un termine della sottosuccessione  , essendo   (per definizione di sottosuccessione, la quale ha indici crescenti e dunque diversi tra loro), esiste però una successione   i cui termini sono tutti diversi da   ed anch'essa però convergente ad   stesso (sempre per il teorema di Bolzano-Weierstrass). Dunque tale successione è in  , convergente in   e dunque, per il lemma precedente,   e dunque  .

 


Chiusura di un insieme ed insiemi chiusiModifica

Un punto   si dice è un punto aderente di un insieme   se

 

qualsiasi sia l'intervallo di  .

L'insieme dei punti aderenti di   si dice chiusura di   e si denota con il simbolo

 .

In termini intuitivi, un punto aderente è un punto reale "vicino quanto si voglia" ad un sottoinsieme  .

ProposizioneModifica

Sia  . Allora

 .
DimostrazioneModifica

Notiamo innanzitutto che   in quanto ogni punto di   è ovviamente punto aderente di  , ma ce ne potrebbero essere anche altri al di fuori di  , dunque  .
Analogamente, anche   perché facendo il confronto di definizioni abbiamo

 

mentre

  è un punto aderente di   se e solo se  

Anche qui, la maggiore (o al più uguale) cardinalità della chiusura di   rispetto ad   stesso è evidente.

Ora, proviamo che  . Se   (preventivamente abbiamo supposto che stia nella chiusura), allora

 

e non c'è nulla da provare.
Se invece  , se però stà nella chiusura di   abbiamo (dalla definizione)

 

che è equivalente a dire

 

dal momento che   non contiene  .
Dunque abbiamo che  , ma   in quanto contiene anche  

, dunque  .

 



Un insieme   si dice chiuso se uguale alla sua chiusura, cioè se  .