Integrale di Riemann

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Integrale di Riemann
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
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Consideriamo l'intervallo con .

Chiamiamo scomposizione di un sottoinsieme comprendente gli estremi .

È possibile definire su la misura di ogni intervallo (è possibile farlo perché è archimedeo) come . Inoltre

Definiamo il parametro di finezza di :

cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione . In altri termini, significa che è una scomposizione di in un numero di intervalli maggiore rispetto a dunque .

Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di l'insieme denotato con .

Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitataModifica

Sia   una funzione limitata. Se  , è detta somma superiore di   relativa a  

 

Graficamente:

Analogamente si definiscono le somme inferiori come

 

e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo  , mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che  . Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione  , si ha:

 

Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da   a   di  , denotato con   e   il numero reale tale che:

   

In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di   in   tra tutte le scomposizioni   possibili. Analogamente l'integrale superiore.

ProposizioneModifica

Per ogni funzione limitata   si ha

 

LemmaModifica

Sia   una scomposizione più fine di  , cioè  . Allora, per qualsiasi   si ha che

 

 

Inoltre, siano   e  . Risulta allora che:

 

cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.


Dimostrazione del LemmaModifica

Sia  , cioè   è più grande di   solo per un punto in più  . Abbiamo   e   in  . Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo  , ma per il resto sono uguali. Per provare che  , facciamo vedere che la differenza tra   e   è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo   in quanto tutte gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :

   

Analogamente per le somme inferiori:

   

Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.

Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:

 
 
Dimostrazione della ProposizioneModifica

È una diretta conseguenza del Lemma precedente.

 


Funzioni integrabiliModifica

Una funzione limitata   si dice integrabile secondo Riemann se

 

ed in tal caso l' integrale di   da   a   si denota con

 


Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con   l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo  .

Cominciamo proprio con il teorema omonimo.

Teorema (di Riemann)Modifica

Sia   una funzione limitata. Allora   se e solo se

 

cioè   è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in   tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.

Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.

DimostrazioneModifica

Dimostriamo l'implicazione   utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se   è integrabile, esiste una qualche scomposizione   per cui  , cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo  ) tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo  ) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi  , dunque  . Analogamente esiste una scomposizione   tale che   e anche qui, per l'ipotesi che   sia integrabile,  . Ricapitolando, abbiamo dunque:

    .

Sia ora   e dunque   e  . Per il lemma 1.2, abbiamo che   e   essendo   una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:

  .

Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che   e traiamone che  . Per ipotesi, si ha allora:

 

e di conseguenza   .

Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre  , dunque mettendo insieme le cose traiamo che

 

e dunque   è integrabile secondo Riemann.