Integrale di Riemann

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Integrale di Riemann
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
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Consideriamo l'intervallo con .

Chiamiamo scomposizione di un sottoinsieme comprendente gli estremi .

È possibile definire su la misura di ogni intervallo (è possibile farlo perché è archimedeo) come . Inoltre

Definiamo il parametro di finezza di :

cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione . In altri termini, significa che è una scomposizione di in un numero di intervalli maggiore rispetto a dunque .

Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di l'insieme denotato con .

Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata

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Sia   una funzione limitata. Se  , è detta somma superiore di   relativa a  

 

Graficamente:

Analogamente si definiscono le somme inferiori come

 

e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo  , mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che  . Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione  , si ha:

 

Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da   a   di  , denotato con   e   il numero reale tale che:

   

In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di   in   tra tutte le scomposizioni   possibili. Analogamente l'integrale superiore.

Proposizione

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Per ogni funzione limitata   si ha

 

Sia   una scomposizione più fine di  , cioè  . Allora, per qualsiasi   si ha che

 

 

Inoltre, siano   e  . Risulta allora che:

 

cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.


Dimostrazione del Lemma
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Sia  , cioè   è più grande di   solo per un punto in più  . Abbiamo   e   in  . Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo  , ma per il resto sono uguali. Per provare che  , facciamo vedere che la differenza tra   e   è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo   in quanto tutti gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :

   

Analogamente per le somme inferiori:

   

Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.

Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:

 
 
Dimostrazione della Proposizione
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È una diretta conseguenza del Lemma precedente.

 


Funzioni integrabili

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Una funzione limitata   si dice integrabile secondo Riemann se

 

ed in tal caso l' integrale di   da   a   si denota con

 


Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con   l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo  .

Cominciamo proprio con il teorema omonimo.

Teorema (di Riemann)

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Sia   una funzione limitata. Allora   se e solo se

 

cioè   è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in   tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.

Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.

Dimostrazione
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Dimostriamo l'implicazione   utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se   è integrabile, esiste una qualche scomposizione   per cui  , cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo  ) tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo  ) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi  , dunque  . Analogamente esiste una scomposizione   tale che   e anche qui, per l'ipotesi che   sia integrabile,  . Ricapitolando, abbiamo dunque:

    .

Sia ora   e dunque   e  . Per il lemma 1.2, abbiamo che   e   essendo   una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:

  .

Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che   e traiamone che  . Per ipotesi, si ha allora:

 

e di conseguenza   .

Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre  , dunque mettendo insieme le cose traiamo che

 

e dunque   è integrabile secondo Riemann.