Prove ripetute

esercitazione
Prove ripetute
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

Le prove ripetute sono un caso particolare di prove indipendenti, infatti si ripetono prove indipendenti dello stesso esperimento casuale .

Lo spazio di probabilità è dove

Prove bernoullianeModifica

Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".

Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento  , chiamato successo, che si verifica con probabilità

 

in ogni singola prova.   è detto insuccesso e si verifica con probabilità

 

Dato che   è l'evento di interesse, si può considerare

 

con

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In generale, si vuole determinare la probabilità   che, su   prove, l'evento   si verifichi   volte in un qualunque ordine.

Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto   associato alle   prove. L'evento di interesse è

 

dove   è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità  .


Esempio:

Prendiamo  , cioè  . Allora vogliamo

 

mentre i successivi

 
Questa proprietà non dipende dall'ordine con cui si susseguono gli eventi, ma soltanto dal numero di eventi positivi alla fine dei 6 esperimenti. Si considera   l'evento di interesse.



Esempio:
Cerchiamo  . Si hanno
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Sono 3 configurazioni possibili per i risultati. Allora, la probabilità è 3/8.


Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con   volte   e   volte   è pari al valore

 

Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a  . Indichiamo con   una di queste possibili configurazioni e   l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,

 .

La probabilità di questo   è

 

cioè

 

Gli eventi   sono tra di loro disgiunti, con

 

Dato che   soddisfa l'assioma di probabilità

 

allora si ha che

 

Concludendo,   segue una legge di probabilità binomiale.


Esercizio: Codice di Hamming
Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo  .

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.


Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.


Esercizio: Un mazzo di carte
Prendete un mazzo di 52 carte ed estraete 3 carte in maniera indipendente, con reinserimento (ogni volta ci sono 52 carte).
  1. Costruire il modello probabilistico.
  2. Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
  3. Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.
Si risolve sulla falsa riga dell'esercizio precedente.


Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.


Teorema: Teorema di de Moivre Laplace
Sia  . Se  , allora
 
Questa proprietà è valida per   in un intorno di larghezza   del valore  .



Considerazioni:

1. Per  , si ha

 

2. Se   (per esempio, una moneta), si ha

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3. La probabilità si accumula in un intorno   al tendere di  .

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