Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".
Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento , chiamato successo, che si verifica con probabilità
in ogni singola prova. è detto insuccesso e si verifica con probabilità
Dato che è l'evento di interesse, si può considerare
con
In generale, si vuole determinare la probabilità che, su prove, l'evento si verifichi volte in un qualunque ordine.
Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto associato alle prove. L'evento di interesse è
dove è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità .
Esempio:
Prendiamo , cioè . Allora vogliamo
mentre i successivi
Questa proprietà non dipende dall'ordine con cui si susseguono gli eventi, ma soltanto dal numero di eventi positivi alla fine dei 6 esperimenti. Si considera l'evento di interesse.
Esempio:
Cerchiamo . Si hanno
Sono 3 configurazioni possibili per i risultati. Allora, la probabilità è 3/8.
Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con volte e volte è pari al valore
Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a . Indichiamo con una di queste possibili configurazioni e l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,
.
La probabilità di questo è
cioè
Gli eventi sono tra di loro disgiunti, con
Dato che soddisfa l'assioma di probabilità
allora si ha che
Concludendo, segue una legge di probabilità binomiale.
Esercizio: Codice di Hamming
Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.
Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo .
Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.
Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.
Esercizio: Un mazzo di carte
Prendete un mazzo di 52 carte ed estraete 3 carte in maniera indipendente, con reinserimento (ogni volta ci sono 52 carte).
Costruire il modello probabilistico.
Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.
Si risolve sulla falsariga dell'esercizio precedente.
Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.