Siccome il canale è indipendente, ogni singolo bit è indipendente dall'altro, cioè possiamo usare le prove bernoulliane.
Esempio: Codice di Hamming
Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.
Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo
.
Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.
Lo spazio campione è
![{\displaystyle \Omega =\{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fc73499f91096d62197e436f562209908bae13)
dove
indica che non c'è stato errore,
indica che c'è stato un errore. Si ha
e si hanno:
![{\displaystyle P(0)=1-10^{-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4419490d643bb294f079dcca8aebc5d7f034d8b3)
![{\displaystyle P(1)=10^{-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ca14b17a372939c72a9d3aa115e3f7ed6bc761)
Una parola è errata quando ci sono almeno due errori. L'evento errore è
![{\displaystyle C={\text{ sbaglio almeno 2 bit sulla parola }}=\{(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{7})\}\in {\hat {F}}{\text{ t.c. }}\sum _{i}c_{i}\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52de208a9789b3b8595cf00c05f593772300a73d)
mentre l'evento successo è
![{\displaystyle {\bar {C}}=\{(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{7})\}\in {\hat {F}}{\text{ t.c. }}\sum _{i}c_{i}<2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b0900d7d90308b34e172c06d903dd88f6b21a7)
Sappiamo che
![{\displaystyle P_{n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad8ad6b94641aa913d60f4dc9431a704b21c9bd)
quindi
![{\displaystyle P(C)=\sum _{k=2^{7}}P_{7}(k)=\sum _{k=2}^{7}{\binom {7}{k}}p^{k}q^{7-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272d93182bf82c2b7a6b84bada5c6df479a0325a)
il che vuol dire che la somma delle probabilità che ci siano
errori è la probabilità totale. Vale
![{\displaystyle P(C)=1-P({\bar {C}})=1-{\binom {7}{0}}p^{0}\cdot q^{7}-{\binom {7}{1}}p^{1}\cdot q^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b682483ba85a0b4f7b7fa5a357d39f103dfcbf1)
Se la parola non fosse codificata, allora l'unica probabilità di avere la parola giusta sarebbe la totale assenza di errori.