Ottica ondulatoria (superiori)

L'ottica ondulatoria tratta di tutti quei fenomeni in cui le caratteristiche ondulatorie del campo elettromagnetico della luce non sono trascurabili. Si rende quindi necessario utilizzare le equazioni di Maxwell per descrivere il comportamento della luce.

Un esempio tipico è la trattazione dei problemi di diffrazione, ovvero lo studio della propagazione di un'onda luminosa il cui raggio subisce uno spostamento dalla traiettoria rettilinea non imputabile né a rifrazione né a riflessione, così come descritto dalle leggi dell'ottica geometrica.

In realtà, i fenomeni di riflessione e di rifrazione sono effetti di diffrazione, ma essi possono essere descritti tramite l'ottica geometrica. Per tutti gli altri fenomeni, quali ad esempio l'interferenza, è necessario risolvere le equazioni di Maxwell con condizioni al contorno che tengano conto della presenza dell'elemento diffrangente, sia esso un ostacolo o una discontinuità nel mezzo in cui la luce si trasmette.

La diffrazione da schermo

Uno dei problemi tipici dell'ottica ondulatoria è lo studio della diffrazione da schermo. Immaginiamo di avere un'onda incidente su un ostacolo piano (chiamato schermo o trasparenza) e di voler calcolare la distribuzione del campo emergente nel semipiano opposto a quello da cui proviene l'onda incidente. Questo problema può essere risolto in due passi:

1. Problema di Interazione: dato il campo incidente sullo schermo e noto lo schermo, trovare la radiazione uscente dallo schermo
2. Problema di Propagazione: noto il campo emergente dallo schermo, calcolarlo in qualunque altro punto del semipiano dopo lo schermo

Entrambi i problemi possono essere risolti in diversi modi. In questa trattazione utilizzeremo una approssimazione scalare per il campo e la sua scomposizione in onde piane attraverso la trasformata di Fourier

Approssimazione scalare del campo

Ammettiamo che il campo possa essere espresso da un'unica grandezza che prende il nome di disturbanza $U({\bar {r}},t)$ e dipende dalla posizione e dal tempo. Limitatamente a regioni di mezzo omogeneo, isotropo, non dissipativo, non dispersivo e privo di cariche e correnti, la disturbanza soddisfa le equazioni delle onde:

${\mathcal {5}}^{2}U-{\frac {1}{\nu ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=0\,$

dove $\nu$ è la velocità di propagazione delle onde.L'approssimazione scalare quindi equivale a dire che le varie componenti del campo possano trattarsi alla stessa maniera ed indipendentemente le une dalle altre (mentre sono legate dalle equazioni di Maxwell) e che le condizioni al contorno diano gli stessi risultati per qualunque componente. Tale approssimazioni conduce a risultati soddisfacenti per molti casi di interesse, come da accordo con l'esperienza.

Oltre ad introdurre l'approssimazione scalare, faremo riferimento ad un'onda monocromatica, per cui:

$U({\bar {r}},t)=V({\bar {r}},t)e^{-2\pi i\nu t}$

da cui otteniamo

${\mathcal {5}}^{2}V+n^{2}k^{2}V=0\,$

dove con $k$ si indica l'ondulanza della radiazione nel vuoto ed in futuro ometteremo $n$ considerando il mezzo di propagazione proprio il vuoto.

Scomposizione in serie di onde piane

Ammettiamo di conoscere il campo emergente dallo schermo in $z=0$ e desiderare conoscere il valore del campo per qualunque $z=cost>0$. L'idea di base è quella di rappresentare $V_{0}(x,y)\,$ come sovrapposizione di opportune onde piane. Siccome è ben noto per ogni onda piana l'effetto della propagazione, basta modificare opportunamente l'insieme delle onde piane componenti il campo per effetto della propagazione e ricomporle poi per ottenere $V_{z=cost>0}(x,y)\,$

Ottenere la scomposizione in onde piane è possibile attraverso uno sviluppo in serie integrale di Fourier del tipo:

$V_{0}(x,y)=\int \int _{\infty }A_{0}(p,q)e^{2\pi i(px+qy)}dpdq\,$

dove $A_{0}$ è l'ampiezza complessa di un'onda del tipo $Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}\,$

Problema di interazione

Ora che possiamo studiare il campo incidente attraverso un insieme di onde piane, possiamo studiare l'effetto che lo schermo ha su una singola onda piana monocromatica che interagisce con esso. Anche questo problema risulta in effetti molto difficile, per cui si può dare una soluzione approssimata di questo tipo: dato un schermo su cui incide una radiazione $V_{i}(x,y,0)\,$, detta $V_{e}(x,y)\,$ la radiazione emergente dallo schermo, definiamo funzione di trasmissione dello schermo:

$\tau (x,y)={\frac {V_{e}(x,y)}{V_{i}(x,y,0)}}\,$

come rapporto tra la disturbanza incidente e quella emergente. L'uso della funzione di trasmissione permette di dare una soluzione approssimata al problema di Interazione. Dalla definizione, è facile capire che questa, in generale, dipende dalla forma della radiazione incidente. In realtà, essa viene generalmente definita dalle caratteristiche proprie dello schermo e tale approssimazione si adatta a molti casi di interesse.

Problema di propagazione

Una volta definito l'effetto dello schermo sull'insieme delle onde piane la cui sovrapposizione genera l'onda incidente, è possibile studiare la propagazione delle singole componenti per ricostruire il campo nel semipiano di interesse. Attraverso la scomposizione in onde piane, inoltre, abbiamo un vantaggio nel calcolo della propagazione. Infatti, esprimendo il campo mediante serie integrale di Fourier abbiamo

$V(x,y,z)=\int \int _{\infty }A_{0}(p,q)e^{2\pi i(px+qy+mz)}dpdq\,$

ma possiamo facilmente ricavare $A_{0}(p,q)$ per inversione alla Fourier di $V_{0}(x,y)$ ed ottenere

$V(x,y,z)=\int \int _{\infty }V_{0}(\xi ,\theta )d\xi d\theta \int \int _{\infty }e^{2\pi i[p(x-\xi )+q(y-\theta )+mz]}dpdq\,$

ovvero introducendo il propagatore diretto $K_{z}(s,t)=\int \int _{\infty }e^{2\pi i(ps+qt+mz)dpdq}\,$ otteniamo che la propagazione dell'onda lungo $z$ è ottenuta tramite il prodotto di convoluzione tra il campo fra il piano $z=0$ e la risposta impulsiva $K_{z}$ di un sistema lineare invariante.

Il principio dell'interferenza inversa

Il metodo dello sviluppo in serie di onde piane rientra come caso particolare in uno più generale espresso dal principio dell'interferenza inversa, espresso da Toraldo di Francia.

Consideriamo una struttura diffrangente che divida lo spazio in due regioni $R_{1}$ e $R_{2}$ e supponiamo che su essa incida, provenendo da $R_{1}$, un'onda $O$. Schematizziamo l'ostacolo come una superficie $S$ e sia $V(P)$ l'ampiezza complessa emergente dal generico punto $P$ di essa. Il principio di interferenza inversa si enuncia allora così:

"Se esiste un sistema di onde O₁,O₂,... di opportune forme, ampiezze e fasi che, qualora provenissero da R₁ ed interferissero su S, darebbero luogo alla distribuzione complessa V(P), proprio tali onde si propagherebbero in R₂ per effetto dell'incidenza di O su S"