Leggi dell'ottica geometrica (superiori)

L'ottica geometrica è stata formulata a metà del XVII secolo da Fermat a partire da un semplice principio:

Fra tutti i cammini possibili la luce sceglie sempre il cammino (detto cammino ottico) che richiede il più breve cammino per essere percorso.

Da tale legge derivano le due leggi fondamentali dell'ottica geometrica: la legge della riflessione e della rifrazione che in realtà sono state trattate in precedenza precedenza nei dielettrici in generale. Qui vengono integralmente ripetute.

Riflessione

Legge di Fermat applicata alla riflessione da una superficie

Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della riflessione.

Immaginiamo di volere andare da un punto A ad un punto B, disposti come in figura cioè riflettendo sulla superficie piana S. Indichiamo con $(x_{A},y_{A},0)\$, $(x_{B},y_{B},0)\$ le coordinate dei punti A e B. Scegliamo il piano x,y passante per i punti A e B (per questo la terza coordinata è nulla). Scegliamo inoltre l'asse delle y passante per il punto di incidenza (x,0,z) da determinare. Il tempo impiegato dalla luce nel mezzo in cui si propaga con velocità c' sarà:

$t={\frac {\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}+z^{2}}}{c'}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}+z^{2}}}{c'}}\$

Se deriviamo la derivata rispetto a z di tale equazione e la poniamo eguale a zero (troviamo lo z per cui la funzione ha un minimo, che sia un minimo davvero lo rivela la derivata seconda). Il valore della derivata prima posta eguale a 0:

$z\left({\frac {1}{\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}+z^{2}}}}\right)=0\$

Essendo il termine dentro parentesi sempre maggiore di 0, la somma degli inversi di due distanze, occorre che z=0. Quindi i raggi incidente e riflesso sono contenuti nel piano individuato dal raggio incidente e dalla normale alla superficie passante per il punto di incidenza. Quindi l'equazione sul tempo totale diviene:

$t={\frac {\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}{c'}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}}}{c'}}\$

Derivando nella sola variabile x rimasta e annullandola si ha che:

${\frac {x-x_{A}}{\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}}+{\frac {x-x_{B}}{\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}}}}=0\$

Dalla costruzione geometrica il primo termine è il seno dell'angolo $\theta _{1}\$, l'angolo che forma il raggio incidente con la normale al piano passante per il punto di incidenza. Mentre il secondo termine è il seno cambiato di segno,dell'angolo che il raggio riflesso forma con la normale al piano:

$\sin \theta _{1}=\sin \theta _{2}\$

e quindi:

$\theta _{1}=\theta _{2}\$

La legge della riflessione: L'angolo di incidenza e di riflessione sono eguali.

L'ipotesi di superficie piana non è strettamente necessaria: anche in una superficie scabra, una regione sempre più piccola può essere approssimata ad una supeficie piana.

Rifrazione

Legge di Fermat applicata alla rifrazione tra due mezzi

Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della rifrazione.

Quando un raggio di luce attraversa la superficie di separazione tra due mezzi diversi trasparenti con velocità della luce c₁ e c₂. Cioè studiamo la rifrazione come mostrato nella figura a fianco. Come per le leggi della riflessione, supponiamo che la separazione tra i due mezzi sia piana.

Indichiamo con $(x_{A},y_{A},0)$, $(x_{B},y_{B},0)$ le coordinate dei punti A e B. Scegliamo il piano x,y passante per i punti A e B (per questo la terza coordinata è nulla). Scegliamo inoltre l'asse delle y passante per il punto di incidenza (x,0,z) da determinare. Il tempo totale impiegato dal raggio per andare dal punto A e B sarà:

$t={\frac {\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}+z^{2}}}{c_{1}}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}+z^{2}}}{c_{2}}}\$

Se deriviamo la derivata rispetto a z di tale equazione e la poniamo eguale a zero (troviamo lo z per cui la funzione ha un minimo, che sia un minimo davvero lo rivela la derivata seconda). Il valore della derivata prima posta eguale a 0:

$z\left({\frac {1}{c_{1}{\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}+z^{2}}}}}+{\frac {1}{c_{2}{\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}+z^{2}}}}}\right)=0\$

Essendo il termine dentro parentesi sempre maggiore di 0, la somma degli inversi di due distanze, occorre che z=0. Quindi i raggi incidente e rifratto sono contenuti nel piano individuato dal raggio incidente e dalla normale alla superficie passante per il punto di incidenza.

Quindi l'equazione sul tempo totale si riduce a:

$t={\frac {\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}{c_{1}}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}}}{c_{2}}}\$

Derivando nella sola variabile x rimasta e annullandola si ha che:

${\frac {x-x_{A}}{c_{1}{\sqrt {(x-x_{A})^{2}+y_{A}^{2}}}}}+{\frac {x-x_{B}}{c_{2}{\sqrt {(x-x_{B})^{2}+y_{B}^{2}}}}}=0\$

da cui:

${\frac {\sin \theta _{1}}{c_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{c_{2}}}\$

ossia:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}=n_{1,2}\$

Dove $n_{1,2}\$, il rapporto tra le velocità della luce nei due mezzi, è detto indice di rifrazione realtivo dei due mezzi.

La legge della rifrazione: Il rapporto tra il seno dell'angolo di incidenza ed il seno dell'angolo di rifrazione è costante ed eguale all'indice di rifrazione relativo dei due mezzi.

Notiamo che se $n_{1,2}<1\$, l'angolo di rifrazione sarà maggiore dell'angolo di incidenza; esisterà dunque un angolo $\theta _{1}\$ tale che $\theta _{2}=90^{0}\$ quindi:

$\sin \theta _{1}=n_{1,2}\$

Tale angolo è detto angolo limite. Infatti, per un angolo di incidenza superiore a tale valore non vi è nessun raggio diffratto.

Tale fenomeno, su ci si basa la propagazione della luce nelle fibre ottiche, è chiamato riflessione totale.

Anche la spiegazione fisica del miraggio è basata su tale fenomeno. Esso si verifica quando i raggi del Sole incontrano uno strato d'aria più calda rispetto agli strati sovrastanti dove l'aria più fredda e di densità maggiore. Così i raggi di luce subiscono una riflessione totale ed è possibile vedere le immagini come se fossero veramente riflesse al suolo.