Numeri interi

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lezione
Numeri interi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%.

Conosciamo già l'insieme dei numeri naturali, che in questa sede comprende pure lo 0:

.

Conosciamo pure le operazioni tra numeri naturali e le loro proprietà. In particolare sappiamo che l'operazione di sottrazione non è sempre eseguibile: la possiamo infatti eseguire se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. È questo il motivo che ha portato alla formazione dell'insieme dei numeri interi che indichiamo con .

Costruzione e definizione formaleModifica

Inanzitutto si definisce la relazione  :

 .

Ora notiamo che   è una relazione di equivalenza (la dimostrazione la lasciamo al lettore). Per questo motivo si può eseguire una partizione in   mediante la relazione  . Possiamo ora dare la seguente definizione.

Definizione

Definiamo insieme dei numeri interi l'insieme  , ovvero l'insieme quoziente di   con la relazione  . Diciamo numero intero l'insieme

 

dove  .


SommaModifica

La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:

 .

Agli elementi   viene associato un nuovo elemento che si dice  , formalmente:

 

Assiomi dell'operazione sommaModifica

Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :

1) Esiste, in  ,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con  :

   

2)    , (proprietà commutativa);

3)    , (proprietà associativa o del porre parentesi).

ProdottoModifica

Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:

 

Agli elementi   viene associato un nuovo elemento che si dice   oppure  :

 

valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :

Proprietà dell'operazione prodottoModifica

1) Esiste, in  ,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con  :

   



2)    , (proprietà commutativa);

3)    , (proprietà associativa).

Valgono due ulteriori assiomi:    , che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;

e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

   

.

Principio di induzioneModifica

Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri. (Vedere anche Gli assiomi di Peano e il principio di induzione.)

Considerata una determinata proprietà,  , che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera   e se la verità di   implica quella della proposizione   per ogni   diverso da uno, allora la proprietà   è vera per ciascun numero naturale.

Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi   numeri naturali è

 

.   è vera nel caso   infatti

 

è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.

Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico   si studia il valore  :  

 

 

Dunque la proprietà risulta vera  .

Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi   quadrati è  .

Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale   in poi: se la proprietà   risulta vera per un certo   e se la verità di   implica quella della proposizione   per ogni   allora la proprietà   è vera per ciascun numero naturale non minore di  .

Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di   lati,  , è dato da  .