Numeri naturali

I numeri naturali li usiamo sin da bambini e proprio forse per questo motivo si ritiene inutile o banale una loro trattazione rigorosa. Ma nel corso dell' '800 e del '900 ulteriori approfondimenti e studi successivi ad opera di matematici, come Richard Dedekind e Giuseppe Peano, nell'ambito di quella che oggi viene chiamata teoria dei numeri hanno messo in luce come sia difficile trattare rigorosamente le cose "scontate" e che è proprio lo studio dei fondamenti dell'aritmetica che ci permette di porre le basi alla comprensione di enti matematici ben più complessi.

A parte queste ragioni c'è un altro motivo che fa ritenere didatticamente interessante la trattazione dei numeri naturali: aiuta lo studente a non prendere niente per scontato. Infatti anche le proprietà più banali (pure quelle che abbiamo imparato alle elementari) hanno bisogno di essere "dimostrate". Per questo motivo si parte da proposizioni più astratte ed empiricamente valide che nell'ambito della logica matematica prendono il nome di assiomi. Ed è proprio da questi che incominceremo.

Concetti primitivi

Prima di enunciare gli assiomi da cui discendono tutte le proprietà dei numeri naturali, si parte da dei concetti talmente primitivi (quanto universalmente usati) da risultare molto difficile e problematica la loro definizione.

• Bisogna intanto avere qualche idea circa la definizione stessa di numero. Un numero è un qualcosa, un "oggetto", un "ente" usato per contare e per misurare. Questa definizione è valida per lo meno alle origini delle scienze matematiche: infatti con il progredire della conoscenza umana, i numeri hanno cominciato ad esistere come concetti logici, in sé sussistenti, svincolati dalla realtà a cui erano associati. Così incominciano ad esistere il numero "3" e il numero "2" indipendentemente che si trattasse di 3 asini o 2 pecore. Ciò nonostante quella "operativa" è ancora una delle più efficaci rappresentazioni del concetto di "numero".
• Non meno difficile risulta la definizione di uno. Il concetto di "uno" esiste fin dalla notte dei tempi e, da Pitagora che lo considerava il "generatore" di tutti gli altri numeri a Plotino che lo identificava con l'Essere da cui si emana tutto il reale, ha sempre assunto lo stesso significato.
• Nell'ambito dei naturali e degli interi particolare importanza ha anche la nozione di successivo. Il concetto non così banale e scontato come a prima vista potrebbe sembrare: dire che un certo numero viene dopo un altro significa già introdurre un ordinamento. Ma nel concetto di "successivo" c'è qualcosa che va oltre: il successivo di un numero è quello che viene immediatamente dopo. Il termine "immediatamente" ci fa pensare, cioè, che non esista nessun numero compreso fra il numero stesso e il suo successivo: questa proprietà rende l'insieme dei numeri naturali un insieme discreto. Per ora basta definire successivo di un certo numero naturale $n$ quel numero, indicato generalmente con $n^{+}$, tale che non esiste nessun altro numero naturale compreso tra $n$ e $n^{+}$.
• Ora poniamo la domanda: "Cosa significa contare?" La risposta è partire dal numero 1 ed aggiungere di volta in volta 1. Assecondando quanto appena detto, si costruiscono i numeri "1+1", "(1+1)+1", ((1+1)+1)+1, ... che indichiamo rispettivamente con "2", "3", "4", ...

Avendo chiarito questi interessanti aspetti, possiamo calarci nel vivo della materia esaminando meglio le proprietà di $\mathbb {N}$.

Gli assiomi di Peano e il principio di induzione

Nel 1889, usando i concetti primitivi che abbiamo visto sopra, Giuseppe Peano, insigne matematico italiano, formulò i cosiddetti assiomi di Peano che descrivono alcune proprietà dell'insieme $\mathbb {N}$. Elenchiamo brevemente questi cinque assiomi.

Assiomi di Peano

• A1. 1 è numero naturale.
• A2. Dato un qualunque naturale, esiste uno e un solo (numero) successivo che è pure naturale. Se $x$ è un numero naturale, denotiamo il suo successivo con $x^{+}=x+1$.
• A3. 1 non è il successivo di alcun numero naturale.
• A4. Numeri naturali diversi hanno successivi diversi. Equivalentemente: $\forall m,n\in \mathbb {N} ,m^{+}=n^{+}\Rightarrow m=n$
• A5. Sia ${\mathcal {T}}\subseteq \mathbb {N}$. Se
  • $1\in {\mathcal {T}}$
  • se $n$ appartiene ad ${\mathcal {T}}$, allora gli appartiene anche $n+1$,

allora ${\mathcal {T}}=\mathbb {N}$.

Ora qualche commento. La A1 ci dice che l'insieme dei numeri naturali ha almeno un elemento, ovvero $\mathbb {N} \neq \varnothing$. La A2 e la A3 ci suggeriscono una costruzione di $\mathbb {N}$, quella che abbiamo visto prima, e in particolare la A2 asserisce anche alla possibilità di continuare indefinitamente a formare nuovi numeri naturali. La A4 afferma che durante la costruzione non si incontrano numeri già costruiti. Infine la A5 sancisce che l'insieme che si sta costruendo è quello dei numeri naturali.

L'importanza della A5 sta nel fatto che rende possibile un tipo di dimostrazione, ovvero quella per induzione.

Teorema 1.Principio di induzione

Sia ${\mathcal {P}}_{n}$, con $n\in \mathbb {N}$, un predicato. Se ${\mathcal {P}}_{1}$ è vero e se dalla verità supposta di ${\mathcal {P}}_{n}$ segue la verità di ${\mathcal {P}}_{n+1}$, allora ${\mathcal {P}}_{n}$ è vero per ogni $n\in \mathbb {N}$.

Dimostrazione

Poniamo ${\mathcal {V}}=\{n\in \mathbb {N} |{\mathcal {P}}_{n}\}$. Se ${\mathcal {P}}_{1}$ è vero, allora $1\in {\mathcal {V}}$. D'altra parte se ${\mathcal {P}}_{n}\Rightarrow {\mathcal {P}}_{n+1}$, allora $n\in {\mathcal {V}}\Rightarrow n+1\in {\mathcal {V}}$. Per la A5 si ha ${\mathcal {V}}=\mathbb {N}$, ovvero ${\mathcal {P}}_{n}$ è vero per ogni $n\in \mathbb {N}$.

In formule il principio di induzione può essere scritto come

$[{\mathcal {P}}_{1}\land \forall n\in \mathbb {N} ({\mathcal {P}}_{n}\Rightarrow {\mathcal {P}}_{n+1})]\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} ({\mathcal {P}}_{n})$

Riflessioni sugli assiomi di Peano e sul principio di induzione

Lo scopo di questa sezione è di riflettere in particolare sugli assiomi A1, A3 e A5 e sul principio di induzione.

La A1, come si è visto, afferma che $\mathbb {N}$ non è vuoto perché contiene l'elemento 1. Facciamo notare però che si può rimpiazzare questo assioma con il seguente

"0 è un numero naturale.",

la A3 con

"0 non è il successivo di alcun numero naturale."

e la A5 con

"Sia ${\mathcal {T}}\subseteq \mathbb {N}$. Se

• $0\in {\mathcal {T}}$
• se $n$ appartiene ad ${\mathcal {T}}$, allora gli appartiene anche $n+1$,

allora ${\mathcal {T}}=\mathbb {N}$."

In tal caso la costruzione inizia da "0". Sia la possibilità di partire da "1" che quella di iniziare da "0" sono valide e, per questo motivo, lasciamo la scelta al lettore. In seguito cercheremo di trattarle entrambe. D'ora in poi considereremo $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$, mentre tratteremo l'eventualità che lo 0 sia un numero naturale in seguito.

Scriviamo ora come si esegue una dimostrazione per induzione.

1. Si dimostra che è vero ${\mathcal {P}}_{1}$. Questo punto è molto importante perché nel caso in cui non fosse vero, non ha senso andare avanti nella dimostrazione.
2. Si suppone vero ${\mathcal {P}}_{n}$, con $n\in \mathbb {N}$.
3. Si dimostra che con l'ipotesi 2. si ha che è vero pure ${\mathcal {P}}_{n+1}$. Se non lo fosse, il predicato che si voleva dimostrare è sempre falso.

Invitiamo il lettore a riflettere sulla possibilità di dimostrare la verità di un predicato ${\mathcal {P}}_{n}$ per ogni $n\in \{n_{0},n_{0}^{+},(n_{0}^{+})^{+},...\}$, con $n_{0}\in \mathbb {N}$, partendo col provare ${\mathcal {P}}_{n_{0}}$ e proseguendo con la 2. e la 3.

Introduciamo subito un teorema la cui dimostrazione fornisce un esempio su come condurre una dimostrazione per induzione.

Teorema 2.

Per ogni $n\in \mathbb {N} -\{1\}$ esiste almeno un $x\in \mathbb {N}$ tale che $n=x+1$.

Dimostrazione

Consideriamo il predicato

${\mathcal {P}}_{n}:\exists x\in \mathbb {N} ,n=x+1$

che vogliamo dimostrare per ogni $n\in \{2,3,4,...\}$. Iniziamo col provare che ${\mathcal {P}}_{2}$ è vero: infatti, avendo posto $1+1=2$, si ha che è vero in quanto $x=1$. Supponiamo ora che sia vero ${\mathcal {P}}_{n}$: in questo caso sia $x_{0}\in \mathbb {N}$ per cui $n=x_{0}+1$. Dall'ultima uguaglianza si ha

$n+1=(x_{0}+1)+1$,

che prova ${\mathcal {P}}_{n+1}$: infatti basta porre $x=x_{0}+1$. La dimostrazione per induzione è conclusa e il teorema è dimostrato.

In altre parole, questo teorema afferma l'esistenza di un numero naturale che viene immediatamente prima di un numero naturale diverso da 1.