Integrale

lezione
Integrale
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%.
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DefinizioniModifica

Un integrale può essere considerato come l'operazione inversa della Derivata. Esistono tre differenti definizioni di integrale:

  1. Integrale di Kurzweil-Henstock
  2. Integrale di Lebesgue
  3. Integrale di Riemann

La definizione data da Kurzweil e Henstock è la più generale delle tre,e in effetti la seconda e la terza individuano sottospazi vettoriali della prima.

Integrale di Kurzweil-HenstockModifica

Una funzione   si dice integrabile secondo Kurzweil-Henstock (abbreviato K.H.-integrabile) se e solo se è convergente la somma di Riemann associata a ogni P-Partizione  -fine di  . In altre parole se e solo se

  calibro su I tale che:   P-partizione  -fine diI,

 

Alcuni esempiModifica

La funzione costante  

 

È KH-integrabile. Vediamo perché:

Analogamente si dimostra (introducendo però un calibro non costante), che anche la funzione

 

.

Per estensione si può vedere che le funzioni KH-integrabili sono L-Integrabili, e quindi R-integrabili. Pertanto tutte le funzioni continue sono KH-Integrabili.

Anche per le funzioni KH-integrabili vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale, così enunciato:

Altre risorseModifica

Vedere la voce Integrali per gli esercizi.