Integrale
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Definizioni
modificaUn integrale può essere considerato come l'operazione inversa della Derivata. Esistono tre differenti definizioni di integrale:
- Integrale di Kurzweil-Henstock
- Integrale di Lebesgue
- Integrale di Riemann
La definizione data da Kurzweil e Henstock è la più generale delle tre,e in effetti la seconda e la terza individuano sottospazi vettoriali della prima.
Integrale di Kurzweil-Henstock
modificaUna funzione si dice integrabile secondo Kurzweil-Henstock (abbreviato K.H.-integrabile) se e solo se è convergente la somma di Riemann associata a ogni P-Partizione -fine di . In altre parole se e solo se
calibro su I tale che: P-partizione -fine diI,
Alcuni esempi
modificaLa funzione costante
È KH-integrabile. Vediamo perché:
Analogamente si dimostra (introducendo però un calibro non costante), che anche la funzione
.
Per estensione si può vedere che le funzioni KH-integrabili sono L-Integrabili, e quindi R-integrabili. Pertanto tutte le funzioni continue sono KH-Integrabili.
Anche per le funzioni KH-integrabili vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale, così enunciato:
Altre risorse
modificaVedere la voce Integrali per gli esercizi.