Forme differenziali lineari

Analisi matematica > Forme differenziali lineari

appunti
Forme differenziali lineari
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Lavoro e campi conservativiModifica

Sia   un aperto connesso; si dice campo di forze un'applicazione  , che ad ogni punto   associa un vettore  , che rappresenta la forza agente su di una particella puntiforme posta in  .

Data una curva regolare a tratti   di estremi   e  , tale che il suo sostegno   sia contenuto in  , si definisce il lavoro compiuto su di una particella per spostarla, lungo la curva, da   a   come:

 ,

dove   indica il versore tangente alla curva nel punto  .

Un campo di forze   si dice conservativo se il lavoro   compiuto dal campo di forze per spostare una particella da un generico punto   ad un punto   non dipende dalla curva   lungo cui ci si sposta, ma solo dai due estremi e dal verso di percorrenza.

EsempioModifica

Consideriamo il campo di forze generato da una particella puntiforme, di massa  , posta nell'origine del sistema di riferimento assegnato. Il campo di forze agente su di una qualsiasi altra particella di massa   è, come è noto dalla Fisica:

 ,

dove   è la costante di gravitazione universale, ed   è la distanza della particella di massa   dall'origine.

Consideriamo ora una curva regolare a tratti  , di equazioni parametriche  ; il lavoro compiuto per spostare la particella di massa   lungo  , dal punto   al punto  , è:

 

Dal risultato si evince che il lavoro   non dipende dalla particolare curva scelta, ma solo dalla posizione iniziale e finale da essa assunte, ovvero il campo di forze da noi considerato è conservativo.

Questa proprietà sarà approfondita nella trattazione delle forme differenziali esatte.

Forme differenziali lineariModifica

Formalizziamo ora un concetto di cui quanto visto nel paragrafo precedente è un caso particolare; prima di procedere, abbiamo bisogno di alcune nozioni preliminari di Algebra lineare.

 Nota:
inserire collegamento alla lezione di algebra lineare sui funzionali lineari, al momento non esistente

Un generico elemento dello spazio duale  di  , ovvero un generico funzionale lineare su  , può sempre essere scritto nella forma

 ,

dove gli   sono numeri reali, e  ,  , è il funzionale lineare che ad ogni vettore   associa la sua componente i-esima  .

Il funzionale   vale quindi

 .

Poiché i funzionali   costituiscono una base per  , la rappresentazione utilizzata per un generico funzionale lineare su   è unica.

DefinizioneModifica

Sia   un aperto. Si dice forma differenziale lineare un'applicazione   che ad ogni   associa il funzionale lineare su  

 .

Le funzioni   sono i coefficienti della forma differenziale; se tutti i coefficienti sono di classe  , con  , la forma differenziale si dice di classe  .

EsempioModifica

Sia   un aperto. Una generica forma differenziale lineare   si può rappresentare nella forma

 .

Possiamo sempre associare ad essa il campo di forze   definito come:

 ,

le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale.

Integrale curvilineo di una forma differenziale lineareModifica

DefinizioneModifica

Sia   un aperto. Date una forma differenziale lineare continua   ed una curva regolare a tratti  , di equazioni parametriche  , si definisce integrale della forma differenziale esteso alla curva   l'integrale:

 [1]

dove   è il versore tangente alla curva in  .

ProprietàModifica

Elenchiamo ora alcune proprietà che derivano immediatamente dalla definizione:

  1. Se indichiamo con   la curva equivalente a  , ma con orientazione opposta, risulta:
     
  2. Se spezziamo   in   curve regolari a tratti   con   e   risulta:
     
  3. Se   e   sono forme differenziali lineari continue in   e   sono numeri reali, risulta:
     

EsempioModifica

Sia   una forma differenziale lineare continua, definita in un aperto  , e  , con  , una curva regolare a tratti con sostegno in  . Risulta:

 

 

Tale integrale coincide con il lavoro   compiuto per spostare una particella da   a   lungo la curva dal campo di forze

 

NoteModifica

  1. Si noti che