Valor medio di una variabile casuale

Il valor medio di una variabile casuale, anche detto valore atteso, media teorica o speranza matematica è definito in questo modo:

lezione Valor medio di una variabile casuale
	Tipo: lezione
	Materia: Matematica Applicata
	Avanzamento: lezione completa al 75%

Definizione: Valore medio

Data una variabile casuale

X

si definisce, se esiste, il suo valor medio la seguente quantità:

$E[X]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{x_{k}\cdot p(x_{k})}\quad {\text{se }}X{\text{ discreta, }}X\in \{x_{1},...x_{n}\}\\\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{x\cdot f(x)dx}\quad {\text{se }}X{\text{ continua}}\end{cases}}$

Proprietà

Proprietà 1. Se $Y=h(X)$ , con $X$ variabile casuale nota, vale: $E[Y]=E[h(X)]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{h(x_{k})\cdot p(x_{k})}\quad {\text{se }}X{\text{ discreta, }}X\in \{x_{1},...x_{n}\}\\\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{h(x)\cdot f(x)dx}\quad {\text{se }}X{\text{ continua}}\end{cases}}$

Proprietà 2. Caso particolare della 1. Se $Y=\alpha X+\beta$ , con $\alpha \in \mathbb {R} ,\beta \in \mathbb {R}$

$E[Y]=\alpha E[X]+\beta$

Dimostrazione

Sia $X$ una variabile casuale discreta, con $X\in \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

${\begin{aligned}E[X]&=\sum _{k=1}^{m}{h(x_{k})\cdot p(x_{k})}=\\&=\sum _{k=1}^{m}{(\alpha x_{k}+\beta )\cdot p(x_{k})}=\\&=\alpha \underbrace {\sum _{k=1}^{m}{x_{k}\cdot p(x_{k})}} _{E[X]{\text{ per definizione}}}+\beta \overbrace {\sum _{k=1}^{m}{p(x_{k})}} ^{=1{\text{ (prop. funzioni di massa)}}}=\alpha E[X]+\beta \end{aligned}}$

In maniera simile si dimostra il caso continuo.

Proprietà 3. Se $Z=g(X,Y)$ , con $X,Y$ variabili casuale note, vale:

$E[Z]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{k=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}g(x_{k},y_{j})\cdot p(x_{k},y_{j})\quad {\text{se }}X,y{\text{ discrete}}\\\displaystyle \iint _{\mathbb {R^{2}} }{g(x,y)\cdot f(x,y)dxdy}\quad {\text{se }}X,Y{\text{ continue}}\end{cases}}$