William915

\csubsection{寬帶極限} 寬帶極限（wide-band limit, WBL）能夠顯著減少計算時間，並且在很多情況下能得到理想的結果\autocite{Verzijl2013}。寬帶極限是指認為兩個電極的態密度（density of states, DOS）都視為在全能量範圍（無窮寬）與能量無關的常數。

對於無相互作用系統，瞬時流用~Green~函數表達如下 \begin{equation} \label{equ:JGreen} \bs J_\alpha(t)=2e\sum_k\mathfrak R[\bs G^\text R(t;0)\bs G^<(0;0)\bs G^\text A(0;t)]_{0,k\alpha}V_{k\alpha} \end{equation} 其中\autocite{Stefanucci2004} \begin{equation} \bs G^<(0;0)=\lim_{\eta\rightarrow0^+}\int_\Gamma\frac{\dif\zeta}{2\pi}f(\zeta)e^{\eta\zeta}\bs G(\zeta),\quad\bs G(\zeta)=\frac1{\zeta-\bs T} \end{equation} 其中~$\Gamma$~是順時針方向繞過所有松原頻率~$\omega_n=(2n+1)\pi i/\beta+\mu$~的積分圍道（見\autocite{Stefanucci2004} 圖~9），分為上下兩支。$\beta,\mu$~分別為逆溫度與化學勢。$f$~ 是~Fermi~ 分佈函數。$\bs T$~的定義見~(\ref{equ:StefHam})~ 式。

在寬帶極限（$\Gamma_\alpha(\omega)=\gamma_\alpha$）下，Green~函數有很簡單的表達式。 \begin{equation*} G^\text{R,A}_{0,0}(t;0)=\mp ie^{\pm\gamma t}, \quad G^\text R_{0,k\alpha}(t;0)=-iV_{k\alpha}(e^{-i\tilde\varepsilon_{k\alpha}t}-e^{-\gamma t}) \end{equation*} \begin{equation*} \quad G(\zeta)=\frac1{\zeta+\text{sgn}\{\mathfrak I[\zeta]\}i\gamma},\quad\sum_k V_{k\alpha}G_{0,k\alpha}^\text A(0;t)=-\gamma_\alpha e^{-\gamma t}, \end{equation*} \begin{equation} \sum_{k'}V_{k'\alpha'}G_{k\alpha,k'\alpha'}^\text A(0;t)=i\delta_{\alpha,\alpha'}V_{k\alpha}e^{i\tilde\varepsilon_{k\alpha}t}-\gamma_{\alpha'} V_{k\alpha}\frac{e^{i\tilde\varepsilon_{k\alpha}t}-e^{-\gamma t}}{\tilde\varepsilon_{k\alpha}-i\gamma} \end{equation} 其中~$\tilde\varepsilon_{k\alpha}=\varepsilon_{k\alpha}+U_{k\alpha}$。將上面的表達式代入到~(\ref{equ:JGreen})~中就得到無相互作用系統寬帶極限下瞬時流的表達式。

\autocite{Stefanucci2004} 中還進一步討論了無相互作用系統寬帶極限下的線性響應。

對於真實系統（有相互作用），可以從耗散項出發進行計算\autocite{Zheng2007}。

根據基本關係式~$\bs\Sigma^\text{R,A}=\bs h\bs g^\text{R,A}\bs h$~ 以及~Langreth~的解析連續性規則\autocite{Langreth1991}可以得到 \begin{equation} \label{equ:WBLQ} Q_{\alpha,nm}(t)=-\sum_{l\in D}\int_{-\infty}^{+\infty}\dif\tau[G_{nl}^<(t,\tau) \Sigma_{\alpha,lm}^\text A(\tau,t)+G_{nl}^\text R(t,\tau)\Sigma_{\alpha,lm}^<(\tau,t)+\text{H.c.}] \end{equation}

定義器件部分的演化算符~$U^{(\pm)}$： \begin{equation} \label{equ:WBLprop} U^{(\pm)}(t)=\exp\{\pm i\int_0^th_D(\tau)\dif\tau\pm\Lambda t\},\quad \Lambda=\Lambda^L+\Lambda^R. \end{equation} 這裡~$\Lambda^\alpha$~是~$\alpha$~電極的自能~$\Sigma^\alpha$~的虛部。則在寬帶極限下有 \begin{equation} \label{equ:WBLSigma} \Sigma^a_{\alpha,nm}(\tau,t)=i\delta(t-\tau)\Lambda_{nm}^\alpha \end{equation} \begin{equation} \label{equ:WBLSigmal} \Sigma_{\alpha,nm}^<(\tau,t)=\frac{2i}\pi e^{i\int_{\max\{\tau,0\}}^t\Delta\epsilon^\alpha(t')\dif t'}\Lambda^\alpha_{nm} \LEFTRIGHT\{\}{\int_{-\infty}^{+\infty}f^\alpha(\epsilon)e^{i\epsilon(t-\tau)}\dif\epsilon} \end{equation} \begin{equation} G_{nm}^r(t,\tau)=-i\vartheta(t-\tau)\sum_{l\in D}U^{(-)}_{nl}(t)U^{(+)}_{lm}(\tau). \end{equation} 將~(\ref{equ:WBLprop})(\ref{equ:WBLSigma})(\ref{equ:WBLSigmal})~三式代入~(\ref{equ:WBLQ})~式後就得到寬帶極限下瞬時流的表達式。