Trasformazioni lineari di spazi vettoriali, nucleo, immagine, iniettività e suriettività
Trasformazioni Lineari Modifica
Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo . Una funzione è detta trasformazione lineare (o applicazione lineare) se soddisfa le seguenti proprietà:
Tipi di Trasformazioni Lineari Modifica
Endomorfismo Modifica
Una trasformazione lineare ovvero da a sè stesso è detta endomorfismo.
Esempi Modifica
Isomorfismo Modifica
Una trasformazione lineare biunivoca è detta isomorfismo.
Esempi Modifica
Automorfismo Modifica
Un trasformazione lineare che sia allo stesso tempo un endomorfismo e un isomorfismo è detta automorfismo.
Esempi Modifica
Nucleo Modifica
Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo e sia una trasformazione lineare.
Chiamiamo nucleo l'insieme .
Quindi il nucleo è il sottinsieme di costituito dai punti che vengono portati dalla trasformazione nell'elemento neutro di .
In particolare si ha che l'immagine del vettore nullo è il vettore nullo, quindi il nucleo è sempre diverso dall'insieme vuoto.
Immagine Modifica
Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo e sia una trasformazione lineare.
Chiamiamo immagine l'insieme .
Quindi l'immagine è il sottinsieme di costituito di quegli elementi di per i quali esiste un elemento di che venga portato in da .
Come per il nucleo dato che l'immagine del vettore nullo è lo stesso vettore nullo, l'immagine è sempre diversa dall'insieme vuoto.