Tracciamento di parabola asse verticale per tre punti

Una premessa è necessaria prima del prosieguo della voce: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio

Algoritmi per calcolo dell'equazione di una parabola con asse verticale passante per tre punti.

L'equazione della parabola in oggetto, definita dalla funzione:

$y=ax^{2}+bx+c\ \$ si ottiene con il calcolo dei termini $a\ ;\ b\ ;\ c\$ mediante la soluzione di un sistema a tre incognite che vede coinvolta per tre volte l'equazione della curva.

La soluzione del sistema menzionato presenta sensibili difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di banali, ma deleteri, errori nel suo sviluppo.

Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi relativi alla parabola con asse verticale passante per tre punti.

La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento alle coordinate di tre punti noti:

$P_{1}(x_{1}\ ;\ y_{1})\ ,\ P_{2}(x_{2}\ ;\ y_{1})\ ,\ P_{3}(x_{3}\ ;\ y_{3})$

secondo il sistema:

${\begin{cases}y_{1}=a\ x_{1}^{2}+b\ x_{1}+c\\y_{2}=a\ x_{2}^{2}+b\ x_{2}+c\\y_{3}=a\ x_{3}^{2}+b\ x_{3}+c\end{cases}}$

Come si presenta la schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

• il tracciato cartesiano
• la sezione per l'inserzione delle coordinate dei tre punti su 6 TextBox.
• il pulsante per la presentazione grafica dei soli tre punti
• il pulsante per la presentazione grafica della parabola passante per i punti dati
• la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano

Esempio d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione è illustrato un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo7 scaricabile dalla sezione collegamenti esterni.

A complemento dell'esercizio sono esposte alcune osservazioni sul comportamento del programma della grafica.

L' esercizio è relativo al calcolo dell' equazione di una parabola passante per i punti:

$P_{1}(x_{1}=3\ ;\ y_{1}=-4)\ \ \ P_{2}(x_{2}=-2\ \ y_{2}=-6)\ \ \ P_{3}(x_{3}=6\ ;\ y_{3}=-1).$

Una volta digitate le coordinate dei tre punti e stabilito il valore di fondo scala = $10$, cliccando sul pulsante " Traccia i punti" nel reticolo cartesiano compaiono i tre punti nei rispettivi colori P1 (rosso), P2 (blu), P3 (verde).

Con la successiva pressione di "Parabola" si completa la grafica e sullo schermo; sotto l'indicazione della funzione $y=a\ x^{2}+b\ x+c$, compaiono i relativi coefficienti e termine: $a=0.1\ ;\ b=0.3\ ;\ c=-5.7.$

La grafica finale è visibile in figura 2.

Osservazioni

1- se le coordinate dei punti si pongono secondo una retta i punti compaiono nel grafico ma, ovviamente, la parabola non è tracciabile.

2- se due punti hanno lo steso valore d'ascissa gli stessi compaiono sul reticolo cartesiano ma la curva non è tracciabile.

Note

-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo7