Torsione nella trave tubolare a parete sottile

Un caso ancor più particolare di travi soggette a torsione è rappresentato dai profili tubolari sottili, e cioè quelle sezioni che oltre ad essere sottili abbiano anche la proprietà di avere per linea media una linea chiusa.

Se si ragiona in termini di analogia idrodinamica, la quale ci può fornire un approccio intuitivo al problema, si capisce che le tensioni tangenziali (e cioè la velocità del fluido nell'analogia) è all'interno dello spessore praticamente parallela alla linea media; inoltre il valore della tensione tangenziale è proporzionale allo spessore della sezione in quel punto perché, in termini idrodinamici, la portata deve essere costante e dunque il prodotto tra la velocità e lo spessore deve essere costante. In particolare, ritornando a ragionare in termini di tensione, si consideri di isolare un tratto di sezione per mezzo di due tagli ortogonali alla linea media, e siano $b_{1},b_{2}$ gli spessori in corrispondenza dei punti dei tagli. Per la reciprocità delle tensioni tangenziali, le tensioni tangenziali ivi presenti devono essere uguali a quelle che si sviluppano nelle facce longitudinali della trave tagliata, e per l'equilibrio alla traslazione le risultanti delle forze devono essere uguali, per cui:

$\tau _{1}b_{1}l=\tau _{2}b_{2}l$

L'unica ipotesi semplificativa necessaria per procedere nella trattazione è di considerare costante la tensione tangenziale nell'interno dello spessore della sezione. In virtù della supposta piccolezza dello spessore, tuttavia, tale ipotesi non è molto lontana dalla realtà.

Nota:
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Si consideri ora un generico elemento infinitesimo di lunghezza $ds$. In esso le tensioni produrranno un momento torcente, calcolato rispetto a un generico punto ad esempio all'interno della sezione, pari a:

$dM_{t}=\tau _{z}bdsr$

dove si è indicato con $r$ la distanza del punto in corrispondenza della linea media relativo all'elemento infinitesimo con il generico punto precedentemente definito. La totalità della sezione, dunque, genererà un momento torcente (pari a quello agente) di valore:

$M_{t}=\int _{S}\tau _{z}brds$

Avendo tuttavia definito costante il prodotto $\tau _{z}b$, può scriversi:

$M_{t}=\tau _{z}b\int _{S}rds$

L'integrale precedente rappresenta il doppio dell'area $\Omega$ racchiusa dalla linea media, per cui risulta:

$\tau _{z}={\frac {M_{t}}{2\Omega b}}$

Quest'ultima formula è nota come formula di Bredt.

Si può osservare che, al contrario di quanto accade nelle sezioni sottili aperte, in questo caso la tensione massima si raggiunge nelle zone in cui è minimo lo spessore, e vale:

$\tau _{z,max}={\frac {M_{t}}{2\Omega b_{min}}}$

L'angolo unitario di torsione $\theta$ può essere calcolato facendo riferimento alla definizione di energia di deformazione elastica e al teorema di Lamè-Clapeyron:

$\Phi ={\frac {1}{2}}M_{t}\theta l={\frac {1}{2}}\int _{V}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dV$

Passaggi intermedi

L'integrale esteso a tutto il volume presente nell'ultimo membro dell'uguaglianza può essere diviso in un integrale esteso all'area e uno relativo allo sviluppo longitudinale. Ma dato che né le tensioni né il modulo di elasticità tangenziale $G$ variano nello sviluppo longitudinale della trave, si può scrivere:

${\frac {1}{2}}\int _{V}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dV={\frac {1}{2}}\int _{A}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dA\int _{l}dl={\frac {1}{2}}\int _{A}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dAl=$

Per cui:

${\frac {1}{2}}M_{t}\theta l={\frac {1}{2}}\int _{A}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dAl\to M_{t}\theta =\int _{A}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dA$

L'integrale esteso all'area può essere diviso in una parte relativa alla direzione di $s$ e a una relativa alla direzione dello spessore. Ma avendo supposto che la tensione tangenziale non varia in quest'ultima direzione si ottiene:

$M_{t}\theta =\int _{s}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}ds\int _{b}db\to M_{t}\theta =\int _{s}\tau _{z}{\frac {\tau _{z}}{G}}dsb$

Sostituendo l'espressione di $\tau _{z}$ trovata in precedenza si ottiene:

$M_{t}\theta =\int _{s}{\frac {M_{t}^{2}}{4G\Omega ^{2}b}}ds$

Togliendo gli elementi costanti dal segno di integrale si ottiene:

$M_{t}\theta ={\frac {M_{t}^{2}}{4G\Omega ^{2}}}\int _{s}{\frac {ds}{b}}$

In definitiva l'angolo unitario di torsione vale:

$\theta ={\frac {M_{t}}{4G\Omega ^{2}}}\int _{s}{\frac {ds}{b}}$

L'energia di deformazione elastica vale:

$\Phi ={\frac {M_{t}^{2}}{8G\Omega ^{2}}}\int _{s}{\frac {ds}{b}}$

Confronto con le sezioni sottili aperte

Appare opportuno a questo punto fare un confronto tra il comportamento a torsione delle travi appena studiate e quello delle travi a sezione sottile aperta.

Nota:
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A questo proposito si consideri inizialmente una sezione composta da quattro rettangoli di dimensioni $a,b$ uguali tra loro, che per ipotesi di sezioni sottili dovranno avere $a>>b$, disposti in modo da formare una sezione composta di forma quadrata. La sezione sottile chiusa così definita presenterà una tensione massima uniforme lungo l'intera sezione, pari a:

$\tau _{z,max,C}={\frac {M_{t}}{2\Omega b}}$

Per la geometria del sistema, l'area sottesa dalla linea media è pari a:

$\Omega =(a-b)^{2}$

Per cui:

$\tau _{z,max,C}={\frac {M_{t}}{2(a-b)^{2}b}}$

L'angolo unitario di torsione, invece, vale:

$\theta _{C}={\frac {M_{t}}{4G\Omega ^{2}}}\int _{s}{\frac {ds}{b}}={\frac {M_{t}}{4G\Omega ^{2}b}}s$

$s$ per la geometria del sistema è pari a:

$s=4(a-b)$

Per cui:

$\theta _{C}={\frac {M_{t}}{4G(a-b)^{4}b}}(a-b)={\frac {M_{t}}{4G(a-b)^{3}b}}$

Si ipotizzi ora di effettuare un taglio in un tratto generico dello spessore. Dal momento che la sezione prima definita è sicuramente monoconnessa, il taglio ha come effetto di rendere la sezione aperta, ed in particolare una sezione aperta composta. In questo caso la tensione tangenziale massima vale:

$\tau _{z,max,A}={\frac {6M_{t}}{\sum _{i=1}^{4}a_{i}b_{i}^{3}}}b_{max}={\frac {3M_{t}}{2ab^{2}}}$

L'angolo unitario di torsione, invece, vale:

$\theta _{A}={\frac {3M_{t}}{4Gab^{3}}}$

Rapportando le espressioni trovate si ottiene:

${\begin{cases}{\frac {\tau _{z,max,A}}{\tau _{z,max,C}}}={\frac {3M_{t}}{2ab^{2}}}{\frac {2(a-b)^{2}b}{M_{t}}}={\frac {3(a-b)^{2}}{ab}}\\{\frac {\theta _{A}}{\theta _{C}}}={\frac {3M_{t}}{4Gab^{3}}}{\frac {4G(a-b)^{3}b}{M_{t}}}={\frac {3(a-b)^{3}}{ab^{2}}}\end{cases}}$

Per avere un'idea di questi rapporti, si consideri il fatto che per ipotesi lo spessore $b$ dei rettangoli componenti la sezione è trascurabile rispetto all'altra dimensione, per cui si può scrivere $(a-b)\cong a$, per cui:

${\begin{cases}{\frac {\tau _{z,max,A}}{\tau _{z,max,C}}}={\frac {3a^{2}}{ab}}=3{\frac {a}{b}}\\{\frac {\theta _{A}}{\theta _{C}}}={\frac {3a^{3}}{ab^{2}}}=3\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}\end{cases}}$

Tenendo conto ancora una volta che $a>>b$, i rapporti precedenti indicano che tanto la tensione tangenziale massima quanto l'angolo unitario di torsione sono molto maggiori con la sezione aperta di quanto non siano nel caso di sezione chiusa. Il rapporto $a/b$, infatti, ha valori estremamente elevati. Di conseguenza a parità di momento torcente applicato la sezione aperta ha una tensione tangenziale massima di gran lunga superiore rispetto alla sezione chiusa, e ruota di un angolo molto maggiore rispetto ad essa.

Si fa notare che non è stata supposta alcuna modifica della sezione se non l'effettuazione di un taglio in un punto generico. La sezione chiusa, tuttavia, ha una capacità di assorbire il momento torcente senza tensioni elevate molto maggiore di quella relativa alla sezione aperta. A parità di tutte le altre condizioni, come area della sezione, materiale, forma, la sezione chiusa è più adatta della sezione aperta a sopportare una sollecitazione di momento torcente.

Con questo esempio si è voluto mettere in luce come l'iter progettuale non deve essere una semplice calcolazione, ma richiede conoscenze specifiche concettuali sulle problematiche che si vanno ad affrontare. Un'adeguata conoscenza dei problemi in oggetto, infatti, può far trasparire immediatamente quale tra le tante scelte progettuali possibili è quella più adatta.