Torsione nella trave di sezione qualsiasi

Una trave a sezione generica non circolare sottoposta a torsione deve essere necessariamente studiata in modo differente rispetto alla trave di sezione circolare. A differenza di quel caso, infatti, le sezioni non si mantengono piane, ma si ingobbano pur rimanendo indeformate nel loro piano, e ruotano attorno ad un asse longitudinale che però in questo caso non coincide con l'asse baricentrico della trave. Tale asse viene definito asse di torsione.

Nota:
Inserire immagine

Detto $C$ il punto che rappresenta l'asse di torsione nella sezione che ha coordinate $(x_{c},y_{c})$ nel piano $xy$, in perfetta analogia con quanto studiato per la sezione circolare può scriversi:

${\begin{cases}v_{x}=-\theta (y-y_{c})z\\v_{y}=\theta (x-x_{c})z\\v_{z}=\theta \omega (x,y)\end{cases}}$

dove con $\omega (x,y)$ si è indicata una funzione nelle coordinate $x,y$ che esprime la legge di variazione dello spostamento longitudinale dei punti della sezione, e viene chiamata funzione di ingobbamento.

Analisi della deformazione e della tensione

A partire dalle componenti di spostamento, è possibile definire le componenti deformative associate alla sollecitazione di torsione:

${\begin{cases}\epsilon _{x}={\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}=0\\\epsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\gamma _{xy}=0\\\epsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\gamma _{xz}=-\theta (y-y_{c})+\theta {\frac {\delta \omega }{\delta x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}=0\\\epsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\gamma _{yz}=\theta (x-x_{c})+\theta {\frac {\delta \omega }{\delta y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}=0\end{cases}}$

Da qui si può definire quali componenti del tensore di tensione non sono nulli:

${\begin{cases}\tau _{xz}=G\theta \left[{\frac {\delta \omega }{\delta x}}-(y-y_{c})\right]\\\tau _{yz}=G\theta \left[{\frac {\delta \omega }{\delta y}}+(x-x_{c})\right]\end{cases}}$

Limitazioni della funzione di ingobbamento

Una proprietà richiesta alla funzione di ingobbamento è di essere una funzione armonica, e cioè tale per cui:

${\frac {\delta ^{2}\omega }{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}\omega }{\delta y^{2}}}=0$

In caso contrario, infatti, non sarebbero rispettate le equazioni indefinite di equilibrio.

Dimostrazione

Si riporta l'espressione relativa alle equazioni indefinite di equilibrio:

$Y_{k}=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}$

Avendo supposto nulle le forze di volume ($Y_{k}=0$) si ottiene:

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}=0$

Esplicitando nella direzione $z$:

${\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta x}}+{\frac {\delta \tau _{yz}}{\delta y}}+{\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}=0$

Sviluppando le derivate, e considerando che $\sigma _{z}=0$, si ottiene:

$G\theta {\frac {\delta }{\delta x}}\left[-(y-y_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta x}}\right]+G\theta {\frac {\delta }{\delta y}}\left[(x-x_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta y}}\right]=0$

$G\theta {\frac {\delta ^{2}\omega }{\delta x^{2}}}+G\theta {\frac {\delta ^{2}\omega }{\delta y^{2}}}=0$

Per cui:

${\frac {\delta ^{2}\omega }{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}\omega }{\delta y^{2}}}=0$

Per rispettare le condizioni al contorno lungo la superficie laterale, che impongono che sia $\tau _{xz}n_{x}+\tau _{yz}n_{y}=0$, dovrà essere:

$G\theta \left[-(y-y_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta x}}\right]n_{x}+G\theta \left[(x-x_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta y}}\right]n_{y}=0$

e cioè, essendo $G\theta \neq 0$:

$\left[-(y-y_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta x}}\right]n_{x}+\left[(x-x_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta y}}\right]n_{y}=0$

La risoluzione combinata di queste due equazioni è unica a meno di una costante arbitraria.

Il centro di torsione

Dal momento che per ipotesi la trave è sollecitata esclusivamente a momento torcente, in ogni sezione della stessa per equilibrio dovranno essere nulle tutte le altre caratteristiche della sollecitazione.

${\begin{cases}V_{x}(z)=\int _{A}\tau _{zx}dA=0\\V_{y}(z)=\int _{A}\tau _{zy}dA=0\\N(z)=\int _{A}\sigma _{z}dA=0\\M_{x}(z)=\int _{A}\sigma _{z}ydA=0\\M_{y}(z)=\int _{A}\sigma _{z}xdA=0\end{cases}}$

Mentre le ultime tre espressioni sono identicamente soddisfatte, le prime due devono essere valutate:

${\begin{cases}V_{x}(z)=\int _{A}\tau _{zx}dA=G\theta \int _{A}\left[{\frac {\delta \omega }{\delta x}}-(y-y_{c})\right]dA=0\\V_{y}(z)=\int _{A}\tau _{zy}dA=G\theta \int _{A}\left[(x-x_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta y}}\right]dA=0\end{cases}}$

Da tali espressioni si giunge a:

${\begin{cases}\int _{A}\left[{\frac {\delta \omega }{\delta x}}-(y-y_{c})\right]dA=-\int _{A}ydA+\int _{A}y_{c}dA+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}dA=0\\\int _{A}\left[(x-x_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta y}}\right]dA=\int _{A}xdA-\int _{A}x_{c}dA+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}dA=0\end{cases}}$

Noto che $\int _{A}ydA;\int _{A}xdA$ rappresentano i momenti statici $S_{x},S_{y}$ della sezione nelle due direzioni, che questi sono nulli perché calcolati rispetto al baricentro, e che le coordinate del centro di torsione sono costanti, si ottiene:

${\begin{cases}-S_{x}+y_{c}A+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}dA=0\to y_{c}=-{\frac {1}{A}}\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}dA\\S_{y}-x_{c}A+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}dA=0\to x_{c}={\frac {1}{A}}\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}dA\end{cases}}$

Si sono, dunque, calcolate le coordinate del centro di torsione, e per mezzo di questo ulteriore parametro è possibile risolvere completamente la funzione di ingobbamento, che da questo momento è nota.

Rigidezza torsionale

Con riferimento alle caratteristiche della sollecitazione, in precedenza si è volutamente tralasciato di considerare l'equilibrio del momento torcente esterno con il momento torcente interno generato dalle tensioni tangenziali:

$M_{t}=\int _{A}(\tau _{yz}x-\tau _{xz}y)dA$

Passaggi intermedi

Sostituendo, si ha:

$M_{t}=\int _{A}G\theta \left[(x-x_{c})+{\frac {\delta \omega }{\delta y}}\right]xdA-\left[{\frac {\delta \omega }{\delta x}}-(y-y_{c})\right]y$

Suddividendo l'integrale della somma nella somma degli integrali dei singoli termini, portando fuori dal segno di integrale le quantità costanti $G,\theta ,y_{c},x_{c}$ ed eliminando successivamente i termini contenenti i momenti statici della sezione rispetto al baricentro perché nulli, si ottiene:

$M_{t}=G\theta \left[\int _{A}x^{2}dA-x_{c}\int _{A}xdA+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA+\int _{A}y^{2}dA-y_{c}\int _{A}ydA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA\right]$

$M_{t}=G\theta \left[\int _{A}x^{2}dA+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA+\int _{A}y^{2}dA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA\right]$

Riorganizzando l'espressione si ottiene:

$M_{t}=G\theta \left[\int _{A}(x^{2}+y^{2})dA+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA\right]$

Noto che $(x^{2}+y^{2})$ è pari al quadrato della distanza del punto dal baricentro $d^{2}$, e che integrando rispetto all'intera sezione si ottiene il momento polare $J_{G}$, può sostituirsi quest'ultimo nell'espressione.

In definitiva l'espressione del momento flettente è la seguente:

$M_{t}=G\theta \left[J_{G}+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA\right]$

Esprimendo l'equazione precedente in funzione dell'angolo unitario di torsione si ottiene:

$\theta ={\frac {M_{t}}{G}}{\frac {1}{J_{G}+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA}}$

La quantità al divisore rappresenta la rigidezza torsionale della trave. Tuttavia, ricordando che si era trovata un'espressione analoga per la trave a sezione circolare, al fine di avere un'unica espressione della rigidezza torsionale che comprenda anche quel tipo di sezione, si moltiplica e divide l'espressione precedente di $\theta$ per il momento polare $J_{G}$ :

$\theta ={\frac {M_{t}}{GJ_{G}}}{\frac {J_{G}}{J_{G}+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA}}$

Quest'ultima espressione è del tutto simile a quella trovata per la sezione circolare a meno del secondo fattore. Questo fattore assume la denominazione di fattore di forma, espresso come $q$, e tiene conto della forma della sezione. Per la sezione circolare, naturalmente, si ha $q=1$, mentre per una sezione generica è necessario valutarlo per mezzo di:

$q={\frac {J_{G}}{J_{G}+\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta y}}xdA-\int _{A}{\frac {\delta \omega }{\delta x}}ydA}}$

In definitiva si ha:

$\theta =q{\frac {M_{t}}{GJ_{G}}}$

e il fattore di rigidezza torsionale è pari a:

$K_{T}={\frac {GJ_{G}}{q}}$

Energia di deformazione

L'energia di deformazione associata alla torsione vale:

$\Phi =q{\frac {M_{t}^{2}l}{2GJ_{G}}}$

Valori del fattore di forma

Al fine di fornire i dati necessari alle applicazioni pratiche, si ritiene opportuno dare i valori del fattore di forma $q$ per alcune geometrie di sezione che più generalmente sono utilizzate. Non si ritiene, d'altronde, opportuno fornire tutti i passaggi matematici necessari per giungere a tali soluzioni, dal momento che si rischierebbe di appesantire inutilmente la trattazione.

Si fa notare che il valore del fattore di forma $q$ entra nella determinazione della rigidezza torsionale come dividendo, per cui ad un maggiore valore di $q$ a parità di altre condizioni corrisponde una rigidezza torsionale minore. In altri termini, il valore di $q$ può essere immaginato come un moltiplicatore, che indica di quante volte l'angolo unitario di torsione $\theta$ della generica sezione è maggiore di una sezione circolare sottoposta al medesimo momento torcente $M_{t}$, dello stesso materiale ($G$) e di uguale momento polare $J_{G}$.

Forma della sezione		Fattore di forma ($q$)	Note	Tensione massima ($\tau _{z,max}$)	Punti in cui si sviluppa la tensione massima
Circolare		$1$	$R$ indica il raggio della sezione	${\frac {M_{t}}{J_{G}}}R$	Lungo tutto il contorno della sezione
Ellittica		${\frac {\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)^{2}}{4}}$	$a,b$ indicano i semiassi dell'ellisse con $a>b$	${\frac {2M_{t}}{Ab}}$	All'estremità del semiasse minore
Triangolare equilatera		${\frac {5}{3}}$	$d$ indica la dimensione di ognuno dei lati	$-{\frac {5{\sqrt {3}}}{12}}{\frac {M_{t}}{J_{G}}}d$	Nel punto medio di ognuno dei tre lati
Quadrata		$1,186$	$d$ indica la dimensione dei lati	$4,804{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {d}{6}}$	Nel punto medio di ognuno dei lati
Rettangolare	${\frac {a}{b}}=1,1$	$6,49{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$	Per la sezione rettangolare la $q$ dipende dal rapporto $a/b$ con $a,b$ i lati del rettangolo e avendo posto $a>b$. Si può osservare, tuttavia, che il valore del fattore di forma è espresso per mezzo di formule uguali a meno di un fattore numerico. Una formula approssimata per il calcolo di questo fattore numerico è la seguente: $\beta ={\frac {3n}{n-0,63}}$ avendo indicato con $\beta$ il fattore numerico cercato e con $n=a/b$	$4,67{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$	Il valore massimo della tensione viene raggiunto in corrispondenza del punto medio dei lati maggiori, e cioè all'estremità della corda baricentrica minima
	${\frac {a}{b}}=1,2$	$6,02{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,57{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=1,3$	$5,65{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,48{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=1,4$	$5,35{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,40{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=1,5$	$5,11{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,33{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=1,6$	$4,91{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,27{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=1,7$	$4,74{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,21{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=1,8$	$4,60{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,16{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=2,0$	$4,37{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$4,07{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=3,0$	$3,80{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$3,74{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=4,0$	$3,56{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$3,55{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=5,0$	$3,43{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$3,43{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=10,0$	$3,20{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$3,20{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}=20,0$	$3,10{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$3,10{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$
	${\frac {a}{b}}\to \infty$	$3,00{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$		$3,00{\frac {M_{t}}{J_{G}}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b}}$

Analogia fluidodinamica

La comprensione intuitiva dell'andamento delle tensioni generate da un momento torcente in un solido può risultare poco immediata. Per questo motivo può essere molto utile evidenziarne l'analogia coll'andamento della velocità in una sezione fluida le cui pareti laterali siano in rotazione rispetto all'asse baricentrico. Si può dimostrare che le equazioni che reggono il problema idrodinamico descritto sono formalmente identiche a quelle della torsione: l'unica differenza tra le due serie di equazioni, infatti, sono che nella prima compaiono le componenti della velocità del fluido nel punto e nella seconda le componenti della tensione tangenziale nel medesimo punto.

Per effetto di questa differenza di rotazione, il liquido all'interno avrà in ogni punto delle velocità differenti sia per modulo che per direzione. Tale analogia, tuttavia, non semplifica la soluzione del problema della torsione dal momento che le difficoltà analitiche sono uguali a quelle del caso fluidodinamico.