Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital

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Test di monotonia

Sia $I$ un intervallo non banale di $\mathbb {R}$ e sia $f:I\to \mathbb {R}$ una funzione derivabile in ogni punto del dominio.

Allora, $\forall x\in I$, se:

i) $f'(x)=0\Leftrightarrow \ f$ è costante;
ii) $f'(x)\geq 0\Leftrightarrow \ f$ è monotona crescente su $I$;
iii) $f'(x)\geq 0\wedge F=\{x\in I:f'(x)=0\}{\text{ non ha punti interni }}\Leftrightarrow \ f$ è monotona strettamente crescente su $I$.

Dimostrazione

i) Siano $x_{1},x_{2}\in I$ con $x_{1}<x_{2}$. Per provare che $f$ è costante, dobbiamo far vedere che $f(x_{1})=f(x_{2})$ e data l'arbitrarietà dei due punti, ne deduciamo che $f$ è costante su tutto $I$. Prendiamo l'intervallo $[x_{1},x_{2}]\subseteq I$, che essendo un sottoinsieme di un intervallo derivabile, è anch'esso derivabile e dunque $f$ è continua su $[x_{1},x_{2}]$. Possiamo dunque applicare il Teorema del valor medio, attraverso il quale sappiamo che esiste un punto $x\in ]x_{1},x_{2}[$ tale che $f(x_{2})-f(x_{1})=f'(x)(x_{2}-x_{1})$. Per ipotesi però $f'(x)=0$ in ogni punto dell'intervallo, dunque $f(x_{2})-f(x_{1})=0\Leftrightarrow f(x_{2})=f(x_{1})$.

ii) (Come precedente) -- $f'(x)\geq 0$ in ogni punto dell'intervallo, dunque $f(x_{2})-f(x_{1})\geq 0\Leftrightarrow f(x_{2})\geq f(x_{1})$.

Teorema di Darboux

Se la Funzione F è definita e continua nell' intervallo [a,b] chiuso e limitato , allora la funzione assumerà ,almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo della funzione.

Teoremi di de l'Hôpital

Introduzione

I teoremi di de l'Hôpital costituiscono una condizione sufficiente ma non necessaria perché esista $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}$=$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ (dove f'(x) e g'(x) sono le derivate di f(x) e g(x)) e permettono di risolvere alcune forme indeterminate (f.i.). Più precisamente il 1° Teorema di de l'Hôpital permette di risolvere la f.i. ${\frac {0}{0}}$, mentre il 2° risolve la f.i. ${\frac {\infty }{\infty }}$. In ogni caso è possibile utilizzarle anche per tutte le altre f.i., purché ricondotte alle f.i. ${\frac {\infty }{\infty }}$ e ${\frac {0}{0}}$. Premesso ciò, si procede all'enunciazione dei teoremi.

Primo Teorema di de l'Hôpital (f.i. ${\frac {0}{0}}$)

Ipotesi Siano $y=f(x)$ e $y=g(x)$ continue nell'intervallo $(a,b)$ ed entrambe derivabili in $]a,b[$. Esista $x_{0}\in ]a,b[:f(x_{0})=g(x_{0})=0$. Sia $g'(x)\neq 0$ in $]a,b[-x_{0}$. Infine, esista $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Tesi: esiste $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}$=$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se ${x\to \infty }$. In tal caso dovrà esistere un punto $x_{0}\in ]a,b[:\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }g(x)=0$.

Esempio di applicazione del 1° T. di de l'Hôpital

Si consideri $\lim _{x\to 0}{\frac {senx}{x+senx}}$. Esso rappresenta una f.i. ${\frac {0}{0}}$. Derivando numeratore e denominatore (ponendo attenzione nel derivarli separatamente, e non considerando tutto il termine come quoziente derivandolo, erroneamente, secondo la regola specifica per questo caso) allora esso sarà uguale a $\lim _{x\to 0}{\frac {cosx}{1+cosx}}={\frac {1}{2}}$.

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Secondo Teorema di de l'Hôpital (f.i. ${\frac {\infty }{\infty }}$)

Ipotesi Siano $y=f(x)$ e $y=g(x)$ in $(a,b)$, al più escluso $x_{0}$ ed entrambe derivabili in $]a,b[-x_{0}$. Sia $g'(x)\neq 0$ in $]a,b[-x_{0}$. Esista $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$. Infine, esista $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Tesi: esiste $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}$=$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se ${x\to \infty }$.

Esempio di applicazione del 2° T. di de l'Hôpital

Si consideri $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}$. Esso rappresenta una f.i. ${\frac {\infty }{\infty }}$. Derivando numeratore e denominatore (sempre separatamente) allora esso sarà uguale a $\lim _{x\to +\infty }{e^{x}}=+\infty$.