Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital

lezione
Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%.

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Test di monotoniaModifica

Sia   un intervallo non banale di   e sia   una funzione derivabile in ogni punto del dominio.

Allora,  , se:

i)   è costante;
ii)   è monotona crescente su  ;
iii)   è monotona strettamente crescente su  .


DimostrazioneModifica

i) Siano   con  . Per provare che   è costante, dobbiamo far vedere che   e data l'arbitrarietà dei due punti, ne deduciamo che   è costante su tutto  . Prendiamo l'intervallo  , che essendo un sottoinsieme di un intervallo derivabile, è anch'esso derivabile e dunque   è continua su  . Possiamo dunque applicare il Teorema del valor medio, attraverso il quale sappiamo che esiste un punto   tale che  . Per ipotesi però   in ogni punto dell'intervallo, dunque  .

ii) (Come precedente) --   in ogni punto dell'intervallo, dunque  .

Teorema di DarbouxModifica

Se la Funzione F è definita e continua nell' intervallo [a,b] chiuso e limitato , allora la funzione assumerà ,almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo della funzione.

Teoremi di de l'HôpitalModifica

IntroduzioneModifica

I teoremi di de l'Hôpital costituiscono una condizione sufficiente ma non necessaria perché esista  =  (dove f'(x) e g'(x) sono le derivate di f(x) e g(x)) e permettono di risolvere alcune forme indeterminate (f.i.). Più precisamente il 1° Teorema di de l'Hôpital permette di risolvere la f.i.  , mentre il 2° risolve la f.i.  . In ogni caso è possibile utilizzarle anche per tutte le altre f.i., purché ricondotte alle f.i.   e  . Premesso ciò, si procede all'enunciazione dei teoremi.

Primo Teorema di de l'Hôpital (f.i.  )Modifica

Ipotesi Siano   e   continue nell'intervallo   ed entrambe derivabili in  . Esista  . Sia   in  . Infine, esista  . Tesi: esiste  = 

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se  . In tal caso dovrà esistere un punto  .

Esempio di applicazione del 1° T. di de l'HôpitalModifica

Si consideri  . Esso rappresenta una f.i.  . Derivando numeratore e denominatore (ponendo attenzione nel derivarli separatamente, e non considerando tutto il termine come quoziente derivandolo, erroneamente, secondo la regola specifica per questo caso) allora esso sarà uguale a  .


Secondo Teorema di de l'Hôpital (f.i.  )Modifica

Ipotesi Siano   e   in  , al più escluso   ed entrambe derivabili in  . Sia   in  . Esista  . Infine, esista  . Tesi: esiste  = 

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se  .

Esempio di applicazione del 2° T. di de l'HôpitalModifica

Si consideri  . Esso rappresenta una f.i.  . Derivando numeratore e denominatore (sempre separatamente) allora esso sarà uguale a  .