Teoria dei gruppi
Su un insieme con , ci sono possibili permutazioni:
Definizione: Gruppo
Una struttura è un gruppo se:
- l'operazione è associativa;
- l'elemento neutro ;
- ogni elemento è simmetrizzabile, .
Definizione: Sottogruppo
Dato un gruppo , un sottoinsieme è un sottogruppo quando:
Definizione: Permutazione
Una permutazione è una biiezione da un insieme in se stesso.
Teorema:
L'insieme delle permutazioni su , con , è un sottogruppo di ordine , , dove
- la composizione di permutazioni è ancora una permutazione;
- l'operazione è associativa;
- il neutro è la funzione identità;
- ogni permutazione è invertibile.
Vedere l'esempio sul gruppo delle permutazioni su tre elementi
Laterali
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Definizione: Laterale sinistro (destro)
Dato un gruppo e il suo sottogruppo, si dice laterale sinistro individuato da l'insieme
Analogamente, si dice laterale destro individuato da l'insieme
Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni .
Teorema:
Dato , sia l'insieme dei laterali sinistri di in . Allora, è una partizione di .
Analogamente, l'insieme dei laterali destri di in è una partizione per .
Teorema:
I laterali sinistri hanno (tra loro) lo stesso numero di elementi e, dato che anche è un laterale,
Analogamente per i laterali destri.
Dimostrazione, prima parte:
- , non è un insieme vuoto, visto che ;
- l'insieme dei laterali sinistri (destri) è una partizione di , quindi è tutto ;
- l'intersezione tra i laterali è nulla, essendo una partizione. Infatti, siano e sia
Allora, esistono tali che
A questo punto, si ha
da cui si ottiene
Dimostrazione, seconda parte:
Vogliamo dimostrare che laterali sinistri di , . Si deve quindi dimostrare che esiste la biiezione
Definizione:
Sia una corrispondenza da in che restituisce un qualunque sottoinsieme di . Questa corrispondenza:
- è ovunque definita,
- è funzionale,
- è suriettiva,
- è iniettiva,
Dimostrazione:
Se per assurdo
allora si ha:
Definizione: Immagine di f
Si dice immagine di l'insieme
- una funzione è suriettiva sse , cioè tutto l'immagine è tutto il codominio.
- è una funzione, perché è univocamente determinato .
- è iniettiva, infatti
Teorema: Teorema di Lagrange
Dato un gruppo finito, l'ordine di un suo sottogruppo divide l'ordine di .
Dimostrazione:
Sia e sia . Se indico con il numero dei laterali sinistri, ho dimostrato che ogni laterale sinistro ha elementi e che i laterali sinistri costituiscono una partizione di elementi, quindi . è anche il numero di laterali destri di in e di definisce l'indice di in .
Definizione: Sottogruppo normale
Un sottogruppo di un gruppo si dice normale se
Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni .
Teorema:
L'operazione del gruppo di partenza può essere indotta nel sottogruppo quozioente solo se è ininfluente il valore del rappresentante.
Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni .
Teorema:
L'operazione del gruppo di partenza si trasmette al quoziente sse è un sottogruppo normale.
Dimostrazione:
Sia un gruppo, sia un suo sottogruppo normale e sia l'insieme dei laterali sinistri (vale anche per i destri). Si ha
All'interno del quoziente si ha
Siccome è normale, allora è verificate l'equazione