Costruisco
S
3
{\displaystyle S_{3}}
permutazioni su tre elementi :
i
=
(
1
2
3
1
2
3
)
{\displaystyle i=\left({\begin{matrix}1&2&3\\1&2&3\end{matrix}}\right)}
a
=
(
1
2
3
2
1
3
)
{\displaystyle a=\left({\begin{matrix}1&2&3\\2&1&3\end{matrix}}\right)}
b
=
(
1
2
3
1
3
2
)
{\displaystyle b=\left({\begin{matrix}1&2&3\\1&3&2\end{matrix}}\right)}
c
=
(
1
2
3
3
2
1
)
{\displaystyle c=\left({\begin{matrix}1&2&3\\3&2&1\end{matrix}}\right)}
x
=
(
1
2
3
2
3
1
)
{\displaystyle x=\left({\begin{matrix}1&2&3\\2&3&1\end{matrix}}\right)}
y
=
(
1
2
3
3
1
2
)
{\displaystyle y=\left({\begin{matrix}1&2&3\\3&1&2\end{matrix}}\right)}
⋅
{\displaystyle \cdot }
[i]
[a]
[b]
[c]
[x]
[y]
[i]
i
a
b
c
x
y
[a]
a
i
y
x
c
b
[b]
b
x
i
y
a
c
[c]
c
y
x
i
b
a
[x]
x
b
c
a
y
i
[y]
y
c
a
b
i
x
Come si può vedere, non vale la proprietà commutativa. Per esempio,
a
∘
b
≠
b
∘
a
{\displaystyle a\circ b\neq b\circ a}
Definisco inoltre i sottoinsiemi
A
=
{
i
,
a
}
{\displaystyle A=\{i,a\}}
B
=
{
i
,
b
}
{\displaystyle B=\{i,b\}}
C
=
{
i
,
c
}
{\displaystyle C=\{i,c\}}
N
=
{
i
,
x
,
y
}
{\displaystyle N=\{i,x,y\}}
Questi sottoinsiemi sono strutture chiuse, sono dei sottogruppi di
S
3
{\displaystyle S_{3}}
A
∪
B
∪
C
∪
N
=
S
3
{\displaystyle A\cup B\cup C\cup N=S_{3}}
Fisso
B
⊆
S
3
{\displaystyle B\subseteq S_{3}}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
S
=
{
i
B
,
a
B
,
b
B
,
c
B
,
x
B
,
y
B
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{iB,aB,bB,cB,xB,yB\}}
dove:
i
B
=
{
i
i
,
i
b
}
=
{
i
,
b
}
=
B
{\displaystyle iB=\{ii,ib\}=\{i,b\}=B}
a
B
=
{
a
i
,
a
b
}
=
{
a
,
y
}
{\displaystyle aB=\{ai,ab\}=\{a,y\}}
b
B
=
{
b
i
,
b
b
}
=
{
b
,
i
}
{\displaystyle bB=\{bi,bb\}=\{b,i\}}
c
B
=
{
c
i
,
c
b
}
=
{
c
,
x
}
{\displaystyle cB=\{ci,cb\}=\{c,x\}}
x
B
=
{
x
i
,
x
b
}
=
{
x
,
c
}
{\displaystyle xB=\{xi,xb\}=\{x,c\}}
y
B
=
{
y
i
,
y
b
}
=
{
y
,
a
}
{\displaystyle yB=\{yi,yb\}=\{y,a\}}
Quindi,
S
3
{\displaystyle S_{3}}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
D
=
{
B
i
,
B
a
,
B
b
,
B
c
,
B
x
,
B
y
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}=\{Bi,Ba,Bb,Bc,Bx,By\}}
dove:
B
i
=
{
i
i
,
b
i
}
=
{
i
,
b
}
=
B
{\displaystyle Bi=\{ii,bi\}=\{i,b\}=B}
B
a
=
{
i
a
,
b
a
}
=
{
a
,
x
}
{\displaystyle Ba=\{ia,ba\}=\{a,x\}}
B
b
=
{
i
b
,
b
b
}
=
{
b
,
i
}
=
B
{\displaystyle Bb=\{ib,bb\}=\{b,i\}=B}
B
c
=
{
i
c
,
b
c
}
=
{
c
,
y
}
{\displaystyle Bc=\{ic,bc\}=\{c,y\}}
B
x
=
{
i
x
,
b
x
}
=
{
x
,
a
}
{\displaystyle Bx=\{ix,bx\}=\{x,a\}}
B
y
=
{
i
y
,
b
y
}
=
{
y
,
c
}
{\displaystyle By=\{iy,by\}=\{y,c\}}
Anche l'insieme dei laterali destri
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
Considero il sottoinsieme
N
=
{
i
,
x
,
y
}
{\displaystyle N=\{i,x,y\}}
Si ha:
S
N
=
{
N
,
a
N
,
b
N
,
c
N
,
x
N
,
y
N
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}N=\{N,aN,bN,cN,xN,yN\}}
D
N
=
{
N
,
N
a
,
N
b
,
N
c
,
N
x
,
N
y
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}N=\{N,Na,Nb,Nc,Nx,Ny\}}
a
N
=
{
a
i
,
a
x
,
a
y
}
=
{
a
,
c
,
b
}
{\displaystyle aN=\left\{ai,ax,ay\right\}=\{a,c,b\}}
b
N
=
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle bN=\left\{a,b,c\right\}}
c
N
=
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle cN=\left\{a,b,c\right\}}
x
N
=
y
N
=
N
{\displaystyle xN=yN=N}
Si ottiene che il sottogruppo
N
{\displaystyle N}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
(
N
◃
S
3
)
{\displaystyle (N\triangleleft S_{3})}
S
3
≡
1
=
{
B
,
a
B
,
c
B
}
=
{
{
i
,
b
}
,
{
a
,
y
}
,
{
a
,
x
}
}
{\displaystyle {\frac {S_{3}}{\equiv _{1}}}=\{B,aB,cB\}=\{\{i,b\},\{a,y\},\{a,x\}\}}
![{\displaystyle [a][c]=[ac]=[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ecfe053272147387106663d6a33324696d8ff2)
![{\displaystyle [x][y]=[x,y]=[i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cec731f0fcf949bd787a8df9bd5c90b98bb9ab)