Analisi della tensione: differenze tra le versioni
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==Le equazioni indefinite di equilibrio==
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Così come nello studio della deformazione si sono fatte delle considerazioni per garantire la ''congruenza'' della stessa, per le tensioni si rende necessario fare delle considerazioni analoghe, ma in termini di equilibrio.
Si considera un elemento a forma di parallelepipedo avente un vertice in <math>P</math> e di spigoli di lunghezza infinitesima <math>dy_1\;dy_2\;dy_3</math>. Sulle tre facce giacenti sui piani effettivamente compresi tra gli assi del riferimento, come già visto per il tetraedro di Cauchy, agiscono le forze <math>-\mathbf{t_1}dA_1\;-\mathbf{t_2}dA_2\;-\mathbf{t_2}dA_2</math>. Sulle altre tre facce, tuttavia, la tensione in generale non si mantiene uguale alle facce parallele, ma diventa, con riferimento al generico componente:
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<math>div\,T\;+\;Y\;=\;0</math>
L'ulteriore condizione
<math>(\sigma '_{jk}dA_j+\sigma_{jk}dA_j)\frac{dy_j}{2}-(\sigma '_{kj}dA_k+\sigma_{kj}dA_k)\frac{dy_k}{2}=0</math>
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<math>\sigma_{kj}\,=\,\sigma_{jk}</math>
Cioè,
Caso a sè nel considerare l'equilibrio fanno le regioni di frontiera. In questa parte del corpo, infatti, l'equilibrio alla traslazione si trasforma: detta <math>\mathbf{n}</math> la normale della frontiera nel punto considerato, la tensione relativa a quella direzione deve essere necessariamente uguale all'azione che proviene dall'esterno, cioè:
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Come per la deformazione, in maniera del tutto equivalente dal punto di vista formale, è possibile definire anche per la tensione quelle che sono definite le '''tensioni''' e le '''direzioni principali'''. Allo stesso modo, infatti, si definiscono gli autovalori ed autovettori del tensore di tensione <math>T</math> e se ne definiscono gli invarianti lineare, quadratico e cubico. Allo stesso modo, poi, è possibile decomporre il suddetto tensore in una componente sferica ed una deviatorica.
Inviluppando le direzioni principali interne ad un generico corpo soggetto ad una generica combinazione di carichi si possono individuare tre famiglie di linee, di cui quelle relative alle tensioni massima e minima vengono solitamente chiamate '''isostatiche di trazione''' e '''compressione'''. La particolarità di queste direzioni, le quali sono naturalmente funzione delle modalità con cui il corpo stesso è sottoposto a forze, è che lungo esse la materia è impegnata esclusivamente con sforzi normali di compressione e di trazione. L'assenza di sforzi tangenziali lungo queste direzioni è un fatto molto positivo per l'economia del sistema, dal momento che in generale la materia è in grado di resistere meglio ad azioni normali rispetto a quanto non faccia con azioni tangenziali. D'altronde esistono esempi in natura di tessuti organici le cui fibre resistenti sono
==Note==
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