Il problema di Saint Venant: differenze tra le versioni
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\frac{\delta \tau_{xz}}{\delta z}+\frac{\delta \tau_{yz}}{\delta y}+\frac{\delta \sigma_{z}}{\delta z}=0
\end{cases}</math>
Equazioni costitutive:
<math>\begin{cases}
\epsilon_{11}=\frac{1}{E} \left[ \sigma_{11} - \nu (\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right] \\
\epsilon_{22}=\frac{1}{E} \left[ \sigma_{22} - \nu (\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right] \\
\epsilon_{33}=\frac{1}{E} \left[ \sigma_{33} - \nu (\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right] \\
\gamma_{12}=\frac{1}{G}\tau_{12} \\
\gamma_{13}=\frac{1}{G}\tau_{13} \\
\gamma_{23}=\frac{1}{G}\tau_{23}
\end{cases}</math>
Condizioni al contorno sulla superficie laterale (con <math>n</math> direzione normale alla superficie laterale):
<math>\begin{cases}
\sigma_xn_x+\tau_{xy}n_y=0 \\
\tau_{yx}n_x+\sigma_yn_y=0 \\
\tau_{zx}n_x+\tau_{zy}n_y=0
\end{cases}</math><ref>Si fa notare che tali posizioni corrispondono effettivamente ad imporre che le componenti del vettore di tensione lungo i tre assi siano nulle. Infatti la componente secondo l'asse <math>x</math> del vettore di tensione è espresso da:
<math>\sigma_xn_x+\tau_{xy}n_y+\tau_{xz}n_z</math>
ed ugualmente per le altre due direzioni. Tuttavia, poichè il cilindro è retto per ipotesi, in ogni punto della superficie laterale la normale <math>n</math> è anche normale all'asse del cilindro, per cui la sua componente lungo tale direzione è nulla (<math>n_z=0</math>), per cui scompaiono tutti i termini che lo contengono. Porre nulle le componenti del vettore di tensione secondo le tre direzioni ortogonali, infine, corrisponde ad imporre che sia nullo il vettore stesso.</ref>
Condizioni al contorno sulle due basi:
<math>\begin{cases}
\tau_{zx}=p_x \\
\tau_{zy}=p_y \\
\sigma_z=p_z
\end{cases}
(z=l)</math>
<math>\begin{cases}
\tau_{zx}=p_x' \\
\tau_{zy}=p_y' \\
\sigma_z=p_z'
\end{cases}
(z=0)</math><ref>Dal momento che sulle basi la normale alla superficie ha la stessa direzione dell'asse <math>z</math>, le componenti del vettore di tensione si riducono ad essere quelle espresse nelle condizioni precedenti. A differenza del caso della superficie laterale, tuttavia, le tensioni non si devono annullare ma devono avere un valore uguale all'azione esterna. Si fa notare che si considerano tutte le componenti del vettore di tensione: ad un primo impatto, infatti, si potrebbe ritenere necessario considerare solo la <math>\sigma_z</math>, ma ad un'osservazione più attenta dovrebbe rivelarsi ovvio che è necessario considerare anche la possibilità che sulle basi vengano impresse azioni tangenziali</ref>
==La soluzione del problema==
Il problema, posto in questi termini, presenta enormi difficoltà analitiche per la sua risoluzione. Lo stesso de Saint Venant non giunse alla soluzione del problema risolvendo direttamente questi sistemi di equazioni differenziali, ma per mezzo di un metodo ''seminverso'': tale metodo consiste nell'imporre a priori alcune caratteristiche della soluzione cercata per poi ricercarne le altre per mezzo delle equazioni a disposizione. La scelta di tali caratteristiche, naturalmente, deve essere tale da presentare una certa validità fisica.
Le condizioni che de Saint Venant impose essere soddisfatte a priori in ogni punto del corpo furono le seguenti:
<math>\sigma_x=\sigma_y=\tau_{xy}=0</math>
{{Cassetto|Significato fisico di queste ipotesi|
Per comprendere cosa significa fisicamente questa imposizione matematica si consideri una generica fibra elementare del corpo parallela all'asse <math>z</math> del corpo stesso. Noto che le generiche componenti di tensioni <math>\sigma_{n\nu}</math> possono essere espresse in funzione delle componenti di tensione secondo tre direzioni normali <math>1,2,3</math> nel modo seguente:
<math>\sigma_{n\nu}=\sum_{i,k=1}^3 \sigma_{ik}n_i\nu_k</math>
Esplicitando le componenti della tensione e applicandolo al nostro caso (in cui gli assi sono <math>x,y,z</math>) si ottiene:
<math>\begin{cases}
\sigma_n=\sigma_xn_x^2+2\tau_{xy}n_xn_y+2\tau_{xz}n_xn_z+\sigma_yn_y^2+\tau_{yz}n_yn_z+\sigma_zn_z^2 \\
\tau_{n\nu}=\sigma_xn_x\nu_x+\tau_{xy}n_x\nu_y+\tau_{xz}n_x\nu_z+\tau_{yx}n_y\nu_x+\sigma_yn_y\nu_y+\tau_{yz}n_y\nu_z+\tau_{zx}n_z\nu_x+\tau_{zy}n_z\nu_y+\sigma_zn_z\nu_z \\
\tau_{nz}=\sigma_xn_xz_x+\tau_{xy}n_xz_y+\tau_{xz}n_xz_z+\tau_{yx}n_yz_x+\sigma_yn_yz_y+\tau_{yz}n_yz_z+\tau_{zx}n_zz_x+\tau_{zy}n_zz_y+\sigma_zn_zz_z
\end{cases}</math>
Poichè il cilindro è retto, i coseni direttori delle tre direzioni sono <math>n(n_x,n_y,0)\;\nu(\nu_x,\nu_y,0)\;z(0,0,1)</math><ref>cfr. nota 2</ref> per cui le equazioni precedenti si trasformano nelle seguenti:
<math>\begin{cases}
\sigma_n=\sigma_xn_x^2+2\tau_{xy}n_xn_y+\sigma_yn_y^2 \\
\tau_{n\nu}=\sigma_xn_x\nu_x+\tau_{xy}n_x\nu_y+\tau_{yx}n_y\nu_x+\sigma_yn_y\nu_y \\
\tau_{nz}=\tau_{xz}n_x+\tau_{yz}n_y
\end{cases}</math>
Sostituendo le espressioni precedentemente ipotizzate si ottiene:
<math>\begin{cases}
\sigma_n=0 \\
\tau_{n\nu}=0 \\
\tau_{nz}=\tau_{xz}n_x+\tau_{yz}n_y
\end{cases}</math>
L'unica componente di tensione non nulla, cioè, è la <math>\tau_{nz}</math>.
Questo equivale a dire, in pratica, che le fibre del corpo non si scambiano tra loro azioni normali, dal momento che la trattazione precedente è stata fatta con il massimo della generalità. Le uniche azioni che le fibre longitudinali del corpo possono offrirsi mutuamente sono esclusivamente azioni tangenziali dirette secondo la direzione parallela all'asse del corpo stesso. Le azioni mutue tra le varie fibre del corpo, cioè, si riducono ad essere solo azioni di attrito.
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