Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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La serie di termine generale <math>\frac{ML^n}{n!}|x-x_0|^n</math> converge per il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac{ML^{n+1}}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\right)\left(\frac{n!}{ML^n}\frac{1}{|x-x_0|^n}\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{L|x-x_0|}{n+1}=0</math>.<br/>
Da cui segue che: <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{ML^n}{n!}|x-x_0|^n=0</math>, quindi la tesi.{{endproof}}
====Esempio====
Sia <math>f(x)=e^x , f \in C^{\infty}(\R)</math> , sia poi <math>R \in \R</math> un numero arbitrario positivo.<br/>
Le derivate di <math>f(x)</math> sono: <math>f^{n}(x)=e^x</math> , allora: <br/>
<math>f^{n}(x)\le e^R</math> <math>\forall x \le \R </math>. <br/>
Quindi posto <math> M = e^R</math> e <math>L =1</math> <br/>
<math>f\,\!</math> è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>]-\infty,R[\,\!</math>.
===Teorema 2===
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