Serie di funzioni

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Serie di funzioni
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Definizione di serie e convergenze di serieModifica

Sia   una successione di funzioni reali, definite in  . Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale   la scrittura  , e la successione   si dice successione delle somme parziali.

La scrittura   viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.

Se,  , la serie numerica   converge, ossia se la successione   converge puntualmente in  , allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in  .

Se la successione   converge uniformemente in  , la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in  .

Inoltre, la serie di funzioni   si dice assolutamente convergente in   se e solo se la serie   converge puntualmente.

Infine, una serie di funzioni di termine generale   si dice totalmente convergente in   se e solo se:
 

È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in  , essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme  .

Criteri di Cauchy per le serie di funzioniModifica

Si vede che,  ,  .
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:

La serie di funzioni di termine generale   converge puntualmente in   se e solo se:
 


La serie di funzioni di termine generale   converge uniformemente in   se e solo se:
 


Collegamento tra la varie convergenzeModifica

  • Se una serie di funzioni converge assolutamente oppure uniformemente, allora converge puntualmente.
  • La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.

DimostrazioneModifica

  • Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.

Grazie alla disuguaglianza triangolare:  , dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale  , si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale  , quindi la tesi.

  • Sia   una serie di funzioni che converge totalmente in  . Sia  .

Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche:  .
Da ciò segue che,  :  .

Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie  , sia per  , ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine   converge sia assolutamente, sia uniformemente in  , ossia la tesi.

 


Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale   converge. Infatti vale il seguente risultato:

Criterio 1Modifica

Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale   converge.

DimostrazioneModifica

Se la serie di funzioni converge totalmente, allora:  .

Quindi,  ,   ha un maggiorante che converge. Tuttavia,  , poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.

 


Teoremi sulla convergenza uniforme delle serieModifica

Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare  ):

Teorema sulla continuità della sommaModifica

Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in  , allora il limite è una funzione anch'essa continua in  


Teorema di integrazione per le serieModifica

Se la serie   di funzioni integrabili in   converge uniformemente, allora la serie è integrabile in  , e vale:

 

E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.

Teorema di derivazione per le serieModifica

Se la serie   di funzioni derivabili in   converge in  , e la serie derivata   converge uniformemente in  , allora la serie   è derivabile in  , e vale:

 

E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.

Serie di potenzeModifica

Sia   una successione reale. La serie di funzioni   prende il nome di serie di potenze di coefficienti  .

Vi è da notare che, ponendo  , la serie di potenze di coefficienti   si riduce allo  , e quindi   sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con  .

Teorema 1Modifica

Se la serie di potenze di coefficienti   converge per qualche  , allora la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in  .

DimostrazioneModifica

Dato che la serie numerica di termine generale   converge, allora la successione   converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:
 .
Sia  , quindi  . Allora,  ,  .
La serie numerica di termine generale   è una serie geometrica di ragione strettamente minore di  , che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni  , e quindi, scelti  , la serie converge totalmente in ogni  , da cui la tesi.

Di conseguenza,   è un intervallo di   contenente  . Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:

Teorema 2Modifica

Sia  . Allora  , e si hanno tre casi:

  •  
  •  
  •  , ossia la serie converge  , e la serie non converge  


DimostrazioneModifica

Supponiamo, per assurdo, che  . Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di  , il che contrasta con il fatto che  .

I primi due * sono banalmente dimostrabili.

  Sia   tale che  . Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un   tale che  . E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in  .
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto   tale che  , allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni  , che contraddice il fatto che  , da cui l'assurdo.

  Sia   tale che la serie converge in ogni  , e la serie non converge in ogni  . Se la serie converge in ogni  , allora  , e quindi  .

Se, per assurdo,  , allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni  , il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni  , da cui l'assurdo.

 


Si conclude che, in base al teorema precedente, se  , l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro   e di raggio  , che si riduce al solo   se  ,e che si estende a tutto  , se  . Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro   e raggio  . Allora diciamo che   è il raggio di convergenza della serie di potenze. Il teorema non dice nulla se la serie converge in  . In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.

EsempiModifica

  • La serie   è, come è noto, la serie geometrica di ragione  , che converge se  , e diverge se  . Quindi il raggio di convergenza della serie è  . Tuttavia, per  , la serie diverge positivamente, mentre per  , la serie non è regolare, e quindi  .
  • La serie   ha raggio di convergenza  , e la serie converge sia per   (la serie armonica con  ), sia per   (criterio di Leibniz), quindi  .
  • La serie   ha raggio di convergenza  , e la serie converge per   (criterio di Leibniz), ma non per   (serie armonica con  ), quindi  .

I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.

Criterio di Cauchy-HadamardModifica

Sia   il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti  . Se  , allora:  


DimostrazioneModifica

Per ogni  .
Se  , allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni  , e quindi  . Se  , allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in  , e quindi  .

Se  , allora, per il criterio della radice, la serie converge se  , e la serie non converge se  , ossia, per il teorema precedente,  .

 


Criterio di D'AlembertModifica

Sia   il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti  . Se  , allora:  


DimostrazioneModifica

Per ogni  .
Se  , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni  , e quindi  . Se  , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in  , e quindi  .

Se  , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se  , e la serie non converge se  , ossia, per il teorema precedente,  .

 


Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti   la serie di potenze di coefficienti  , ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.

Teorema sul raggio di convergenza della serie derivataModifica

Sia   il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti  , e sia   il raggio di convergenza della serie derivata. Allora  .


DimostrazioneModifica

  Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti   converga in  . Da ciò segue che la successione   converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia  . Allora,  :
 .
La serie di termine generale   è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti  , ossia la serie derivata, converge in ogni punto  , da cui segue che  .

  Supponiamo che la serie derivata converge in  . Allora, come prima:  , quindi,  :
 .

La serie di termine generale   converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti   converge in ogni punto  , da cui segue che  .

 


Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti   la serie di potenze di coefficienti  , ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.

Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenzeModifica

Sia   il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti  . Supponiamo che   la sua somma, ossia:
 .
Allora risulta anche:  


DimostrazioneModifica

Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in  , con   il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.

 


Serie di potenze generalizzatoModifica

Si dice serie di punto iniziale   e di coefficienti   la serie:  .
Ponendo  , la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se   è il raggio di convergenza della serie di potenze  , allora la serie di punto iniziale   e di coefficienti   converge assolutamente: solo in   se  ; in   se  ; in ogni punto   tale che   e non converge in ogni punto   tale che  .

Serie di TaylorModifica

Sia  . Sia  .
  si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale   se esiste una successione numerica   tale che  

Teorema 1Modifica

Sia  . Allora   è indefinitamente derivabile in  , e valgono le due uguaglianze:
 , con  
 

DimostrazioneModifica

Applicando   volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza:  .

Posto  ,  , da cui  , da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.

 


  indefinitamente derivabile in  .   si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale   in   se:  

La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione   di punto iniziale  .
La serie di Taylor della funzione   di punto iniziale   si dice serie di Mac Laurin di  .

Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.

 Nota:
Fare un esempio

Criterio di sviluppabilità in serie di TaylorModifica

Sia   indefinitamente derivabile in  . Supponiamo che esistono   tali che:  . Allora  ,   è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale   in  

DimostrazioneModifica

Fissato  . Consideriamo il resto  -esimo di Lagrange della formula di Taylor di   di punto iniziale un qualunque punto  :
 .
Per ipotesi si ha che:  .

La serie di termine generale   converge per il criterio del rapporto:  .

Da cui segue che:  , quindi la tesi.

 

EsempioModifica

Sia  . Si sa che  , e le derivate di   sono:   , per ogni   e per ogni  .
Sia poi   un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in  , allora  .
Quindi posto   e  , risulta che  .
Per il teorema 1 risulta che   è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale   in  , qualunque sia  .
Dato che   è stato scelto in maniera arbitraria in  , allora si può concludere che   è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale   in  .

Teorema 2Modifica

Sia   indefinitamente derivabile in  . Sia  .
Se  , allora   è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale   in  .

DimostrazioneModifica

Siano   tale che  . Allora la serie   converge totalmente in  , quindi uniformemente in   alla funzione  . Chiaramente la serie di Taylor di   di punto iniziale   converge per  .

Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di   di punto iniziale   converge uniformemente in   in una funzione   tale che  , e  . Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale,  , da cui, per l'arbitrarietà di   e  , segue la tesi.