Esercitazione 10a (analisi matematica): differenze tra le versioni
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==Equazioni differenziali di ordine 2==
* <math>y'' + y = \frac{1}{\sin(x)}</math><div style="text-align:right;"><math>\color{RoyalBlue}\left[\bar{y}(x) = -x\cos(x) + \sin(x)\cdot\ln(|\sin(x)|)\right]</math></div>
{{Cassetto|Soluzione|
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\end{cases}
</math>
Risolviamo il sistema con la regola di Cramer, chiamiamo <math>W(x)</math>
:<math> W(x) = \det\left| \begin{array}{cc}
\cos(x) & \sin(x) \\
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che, svolgendo calcoli elementari, conferma l'esattezza della soluzione:
:<math>\sin(x) + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = \sin(x) + \frac{1}{\sin(x)} - \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\sin(x)}</math>
}}
* <math>y'' + 3y' +2y = \ln(1+e^x)</math><div style="text-align:right;"><math>\color{RoyalBlue}\left[\bar{y}(x) = e^{-x}\ln(1+e^x)+\frac{1}{2}\ln(1+e^x)+\frac{e^{-2x}}{2}\ln(1+e^x)-\frac{e^x}{2}-\frac{3}{4}\right]</math></div>
{{Cassetto|Soluzione|
L'equazione omogenea associata
:<math>y'' + 3y' +2y = 0</math>
ha come possibili soluzioni le combinazioni lineari con <math>c_1, c_2 \in \mathbb{R}</math>
:<math>\tilde{y} = c_1e^{-2x} + c_2e^{-x}</math>
ossia i due integrali
:<math>y_1(x) = e^{-2x}, \qquad y_2(x) = c_2e^{-x}</math>
Per trovare la soluzione particolare <math>\bar{y}</math> dobbiamo ora trovare le funzioni <math>\psi_1(x) </math> e <math>\psi_2'(x)</math>
:<math>
\begin{cases}
\psi_1'(x)e^{-2x} + \psi_2'(x)e^{-x} = 0\\
-2\psi_1'(x)e^{-2x} - \psi_2'(x)e^{-x} = \ln(1+e^x)\\
\end{cases}
</math>
Come nell'esercizio precedente, risolviamo il sistema con la regola di Cramer, chiamiamo <math>W(x)</math> il wronskiano di <math>y_1</math> e <math>y_2</math>:
:<math> W(x) = \det\left| \begin{array}{cc}
e^{-2x} & e^{-x} \\
-2e^{-2x} & -e^{-x} \\
\end{array} \right| = e^{-3x}
\qquad ;\qquad
A_{\psi_1} = \det\left| \begin{array}{cc}
0 & e^{-x} \\
\ln(1+e^x) & -e^{-x} \\
\end{array} \right| = -1
\qquad ;\qquad
A_{\psi_2} = \det\left| \begin{array}{cc}
e^{-2x} & 0 \\
-2e^{-2x} & \ln(1+e^x) \\
\end{array} \right| = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
</math>
da cui le espressioni di <math>\psi_1'</math> e <math>\psi_2'</math>
:<math>\psi_1'(x) = -e^{2x}\ln(1+e^x),\qquad \psi_2'(x) = e^{x}\ln(1+e^x).</math>
Passiamo ora all'integrazione delle due funzioni
:<math>\psi_1(x) = \int-e^{2x}\ln(1+e^x)\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}e^{2x}log(1+e^x) + \frac{1}{2}\int\frac{e^{3x}}{1+e^x}\mathrm{d}x</math>
tramite sostituzione ci riduciamo all'integrazione di una funzione razionale
:<math>\frac{1}{2}\int\frac{e^{3x}}{1+e^x}\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int\frac{t^{3}}{1+t}\cdot\frac{1}{t}\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\int t-1+\frac{1}{1+t}\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left[\frac{e^{2x}}{2}-e^{x}+\ln(1+e^x)\right]</math>
con cui otteniamo l'espressione di <math>\psi_1(x)</math>, unendo i due integrali
:<math>\psi_1(x) = -\frac{1}{2}e^{2x}log(1+e^x) + \frac{e^{2x}}{4}-\frac{e^{x}}{2}+\frac{1}{2}\ln(1+e^x)</math>
Analogamente otteniamo <math>\psi_2(x)</math>:
:<math>\psi_1(x) = e^{x}\ln(1+e^x)-e^{-x}+\ln(1+e^x)</math>
Dunque un integrale particolare si trova sostituendo in
:<math>\bar{y} = \psi_1e^{-2x} + \psi_2e^{-x}</math>
le espressioni di <math>\psi_1(x), \psi_2(x) </math>, da cui
:<math>\bar{y} = e^{-x}\ln(1+e^x)+\frac{1}{2}\ln(1+e^x)+\frac{e^{-2x}}{2}\ln(1+e^x)-\frac{e^x}{2}-\frac{3}{4}</math>
che è un integrale particolare dell'equazione differenziale.
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