Esercitazione 10a (analisi matematica)

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esercitazione
Esercitazione 10a (analisi matematica)
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: esercitazione completa al 50%.

In questa esercitazione verranno presentati degli esercizi svolti sul metodo della variazione delle costanti di Lagrange per la ricerca di soluzioni particolari di equazioni differenziali dell'ordine della forma

ossia equazioni differenziali lineari non omogenee. Negli esercizi seguenti si chiede di trovare di trovare un integrale particolare delle equazioni differenziali date, ovviamente una volta trovata la soluzione particolare sommandola alla soluzione dell'omogenea si otterrà la soluzione completa dell'equazione differenziale non omogenea

Equazioni differenziali di ordine 2Modifica

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Soluzione

L'equazione omogenea associata

 

ammette come soluzioni i due integrali linearmente indipendenti

 

Dunque per la ricerca di una soluzione particolare abbiamo bisogno di una funzione della forma

 

in cui le derivate   e   delle funzioni   e   soddisfino il sistema di equazioni

 

Risolviamo il sistema con la regola di Cramer, chiamiamo   il wronskiano di   e  :

 

da cui le espressioni di   e  

 

Integrando

 

Infine sostituiamo nell'espressione   le espressioni trovate per   e  , da cui

 

che è, appunto, un integrale particolare dell'equazione differenziale, infatti, sostituendo nell'equazione differenziale   a   e   a   troviamo

 

che, svolgendo calcoli elementari, conferma l'esattezza della soluzione:

 
  •  
     
Soluzione

L'equazione omogenea associata

 

ha come possibili soluzioni le combinazioni lineari con  

 

ossia i due integrali

 

Per trovare la soluzione particolare   dobbiamo ora trovare le funzioni   e  

 

Come nell'esercizio precedente, risolviamo il sistema con la regola di Cramer, chiamiamo   il wronskiano di   e  :

 

da cui le espressioni di   e  

 

Passiamo ora all'integrazione delle due funzioni

 

tramite sostituzione ci riduciamo all'integrazione di una funzione razionale

 

con cui otteniamo l'espressione di  , unendo i due integrali

 

Analogamente otteniamo  :

 

Dunque un integrale particolare si trova sostituendo in

 

le espressioni di  , da cui

 

che è un integrale particolare dell'equazione differenziale.