Un sistema di coordinate
O
e
1
e
2
…
e
n
{\displaystyle O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\dots \mathbf {e} _{n}}
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}
sistema di riferimento cartesiano ed è di solito il sistema di riferimento preferito negli spazi euclidei in quanto semplifica notevolmente i calcoli.
Si dice metrica in un insieme
X
≠
∅
{\displaystyle X\neq \emptyset }
d
:
X
2
→
R
,
(
x
,
y
)
↦
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d:X^{2}\to \mathbb {R} ,\ \ (x,y)\mapsto d(x,y)}
che gode delle seguenti proprietà:
d
(
x
,
y
)
≥
0
e
d
(
x
,
y
)
=
0
⇔
x
=
y
{\displaystyle d(x,y)\geq 0{\text{ e }}d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,\!}
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
≥
d
(
x
,
z
)
{\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}
tutto questo per ogni
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
Utilizzando l'operazione di prodotto scalare, è possibile definire in uno spazio euclideo
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
La metrica
d
(
x
,
y
)
∈
R
+
{\displaystyle d(x,y)\in \mathbb {R} ^{+}}
distanza di
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
d
(
x
,
y
)
=
‖
x
y
→
‖
{\displaystyle d(x,y)=\rVert {\vec {xy}}\rVert }
La distanza in uno spazio numerico
E
n
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}}
X
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})}
Y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{n})}
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
x
i
)
2
{\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}}
e se
E
=
V
{\displaystyle {\mathcal {E}}=V}
V
{\displaystyle V}
d
(
v
,
w
)
=
‖
w
−
v
‖
{\displaystyle d(\mathbf {v,w} )=\rVert \mathbf {w-v} \rVert }
Infatti, per le proprietà della norma,
‖
v
−
w
‖
≥
0
{\displaystyle \rVert \mathbf {v-w} \rVert \geq 0}
‖
v
−
w
‖
=
0
⇔
v
=
w
{\displaystyle \rVert \mathbf {v-w} \rVert =0\Leftrightarrow \mathbf {v=w} }
‖
v
−
w
‖
=
‖
−
(
w
−
v
)
‖
=
|
−
1
|
‖
w
−
v
‖
,
∀
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \rVert \mathbf {v-w} \rVert =\rVert \mathbf {-(w-v)} \rVert =|-1|\rVert \mathbf {w-v} \rVert ,\ \forall \mathbf {v,w} \in V}
‖
u
−
w
‖
=
‖
(
u
−
v
)
+
(
v
−
w
)
‖
≤
‖
u
−
v
‖
+
‖
v
−
w
‖
,
∀
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \rVert \mathbf {u-w} \rVert =\rVert \mathbf {(u-v)+(v-w)} \rVert \leq \rVert \mathbf {u-v} \rVert +\rVert \mathbf {v-w} \rVert ,\ \forall \mathbf {v,w} \in V}
Definiamo a questo punto lo spazio metrico
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
distanza .
Le proprietà della distanza indicate precedentemente ci dicono che ogni spazio euclideo è uno spazio metrico . Infatti è sufficiente considerare le proprietà del prodotto scalare per vedere che sono le stesse della distanza, tenendo però bene a mente (anche se non lo dimostreremo ora e prenderemo per buona questa affermazione) che in generale non vale il viceversa , cioè non tutti gli spazi metrici sono anche spazi euclidei.
modifica
Siano
X
,
X
′
{\displaystyle X,X'}
j
:
X
→
X
′
|
d
(
x
,
y
)
=
d
′
(
j
(
x
)
,
j
(
y
)
)
,
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle j:X\to X'\ |\ d(x,y)=d'(j(x),j(y)),\ \ \forall x,y\in X}
si dice isometria .
Un omomorfismo da uno spazio
(
V
,
<
,
>
)
{\displaystyle (V,<,>)}
(
V
′
,
<
,
>
′
)
{\displaystyle (V',<,>')}
f
:
V
→
V
′
{\displaystyle f:V\to V'}
tale che
<
v
,
w
>=<
f
(
v
)
,
f
(
w
)
>
′
{\displaystyle <\mathbf {v,w} >=<f(\mathbf {v} ),f(\mathbf {w} )>'}
Se l'applicazione
f
{\displaystyle f}
f
:
(
V
,
<
,
>
)
→
(
V
,
<
,
>
)
{\displaystyle f:(V,<,>)\to (V,<,>)}
operatore unitario su
(
V
,
<
,
>
)
{\displaystyle (V,<,>)}
