Siano e due spazi vettoriali e Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikiversity.org/v1/":): {\displaystyle f:V\to W}
un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di da in
In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare.
Per esercizio, dimostrate che è effettivamente uno spazio vettoriale.
Sia un'applicazione lineare e siano basi ordinate rispettivamente di e .
Sappiamo che ogni elemento di è combinazione lineare dei della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori .
Ora, un omomorfismo porta in dunque ogni appartiene a e si potrà scrivere . Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga e di un opportuno vettore colonna . Se raggruppiamo tutti gli vettori colonna (tanti quanti sono gli ) in una matrice , otteniamo dunque la seguente matrice:
.
Possiamo allora scrivere ogni come oppure
, con .
La matrice ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base dell'immagine del j-esimo vettore di . . Questa matrice la denotiamo con .
, , e infine .
Consideriamo poi la base canonica di .
Abbiamo allora
, cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di e in base . Per ottenere le coordinate di un generico vettore usiamo l'equazione matriciale (dove rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base ), cioè:
.
Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di in base :
. Dunque
Le coordinate di in base sono quindi .
È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione che associa un vettore alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.