Spazi di omomorfismi

Spazi di omomorfismi

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali e $f:V\to W$ un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di $f$ da $V$ in $W$

$Hom(V,W):=\{f:V\to W,f{\text{ lineare}}\}$

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare. Per esercizio, dimostrate che $Hom(V,W)$ è effettivamente uno spazio vettoriale.

Equazioni di $f$

Sia $f:V\to V$ un'applicazione lineare e siano ${\mathcal {B}}=(v_{1},\dots ,v_{n}),{\mathcal {B}}'=(w_{1},\dots ,w_{m})$ basi ordinate rispettivamente di $V$ e $W$.

Sappiamo che ogni elemento di $W$ è combinazione lineare dei $w_{i}$ della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori $(w_{1},\dots ,w_{m})\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}=a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+\dots +a_{m}v_{m}$.

Ora, un omomorfismo porta ${\mathcal {B}}$ in $f({\mathcal {B}})=(f(v_{1}),\dots ,f(v_{n}))$ dunque ogni $f(v_{j})$ appartiene a $W$ e si potrà scrivere $f(v_{i})=\sum _{i=1}^{m}a_{j}w_{i}$. Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga ${\mathcal {B}}'$ e di un opportuno vettore colonna $A$. Se raggruppiamo tutti gli $m$ vettori colonna (tanti quanti sono gli $f(v_{j})$) in una matrice $m\times n$, otteniamo dunque la seguente matrice:

$(a_{ij})={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &&&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$.

Possiamo allora scrivere ogni $f(v_{j})\in W$ come $f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}w_{i}a_{ij}$ oppure

$f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$, con $,j=1,\dots ,n$.

La matrice $(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb {K} )$ ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base ${\mathcal {B}}'$ dell'immagine del j-esimo vettore di ${\mathcal {B}}$. . Questa matrice la denotiamo con $M_{{\mathcal {B}}'{\mathcal {B}}}(f)$.

Equazioni scalari

Ricapitolando, abbiamo dunque che $v\in V,v=\sum _{j=1}^{n}x_{j}v_{j}$, $w\in W,w=\sum _{i=1}^{m}a_{i}w_{i}$ e $f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$. Allora:

$f(v)\in W\rightarrow f(v)=f\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}v_{j}\right)=\sum _{j=1}^{n}x_{j}f(v_{j})=$$\sum _{j=1}^{n}x_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{ij}\right)w_{i}$

Dunque le coordinate di un qualunque vettore $w\in W$ sono date da $\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{ij}$.

L'equazione $x'_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{ij}$ è detta equazione scalare di $f$ relativa a ${\mathcal {B}}$ e ${\mathcal {B}}'$.

Equazioni matriciali

Poniamo ora $X'=^{t}(x'_{1},\dots ,x'_{n})_{{\mathcal {B}}'}$ e $X=^{t}(x_{1},\dots ,x_{n})_{\mathcal {B}}$. Allora

$X'=M_{{\mathcal {B}}'{\mathcal {B}}}(f)\cdot X$

è l'equazione matriciale di $f$ relativa a ${\mathcal {B}}$ e ${\mathcal {B}}'$.

Esempio

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$, $v_{1}=(3,1),v_{2}=(-1,2)$, ${\mathcal {B}}=(v_{1},v_{2})$ e infine $f={\begin{cases}v_{1}\mapsto 0\\v_{2}\mapsto (1,2,3,4)\end{cases}}$. Consideriamo poi la base canonica di $\mathbb {R} ^{4}$ $E_{4}=(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4})$.

Abbiamo allora $M_{E{\mathcal {B}}}(f)={\begin{pmatrix}0&1\\0&2\\0&3\\0&4\end{pmatrix}}$, cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di $f(v_{1})$ e $f(v_{2})$ in base $E$. Per ottenere le coordinate di un generico vettore $v\in \mathbb {R} ^{2}$ usiamo l'equazione matriciale $X'=M_{{\mathcal {B}}'{\mathcal {B}}}(f)\cdot X$ (dove $X$ rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base ${\mathcal {B}}$), cioè:

$X'={\begin{pmatrix}0&1\\0&2\\0&3\\0&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$ .

Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore $v=(7,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di $v$ in base $\mathbb {B}$:

$v=x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}=x_{1}(3,1)+x_{2}(-1,2)$

${\begin{cases}3x_{1}-x_{2}=7\\x_{1}+2x_{2}=0\end{cases}}\longrightarrow {\begin{cases}x_{1}=2\\x_{2}=-1\end{cases}}$. Dunque

${\begin{pmatrix}0&1\\0&2\\0&3\\0&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-2\\-3\\-4\end{pmatrix}}$

Le coordinate di $v$ in base $E$ sono quindi $(-1,-2,-3,-4)$.

È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione $f$ che associa un vettore $v$ alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.