Seconda Prova - Matematica (superiori)

La Seconda Prova del Liceo Scientifico è tradizionalmente la Prova di Matematica. La Prova si compone di due tipologie di Esercizi. Vi sono da prima due Problemi con diverse richieste da svolgere. A seguire vi sono dieci Quesiti. Il Candidato dovrà svolgere SOLO uno dei due Problemi e solo cinque dei dieci quesiti. Gli argomenti sono quelli Trattati in Matematica 5 all'Ultimo Anno del Liceo.

In questa lezione, come se fossimo dei maturandi, ci appresteremo, step dopo step, a svolgere la nostra prova d'esame svolgendo i Vari Esercizi proposti durante una vera Seconda Prova d'Esame svoltasi negli scorsi anni. In appendice di pagina poi forniremo un elenco di link completo che conducono alle seconde prove (di Matematica) degli scorsi anni presente sul sito del Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca e che risulterà utilissimo a chi voglia, da solo, esercitarsi su testi veri.

INFO SPECIFICHE

La Prova che andremo ad analizzare è stato proposto nell'Esame di Stato a.s. 2014/2015 ai maturandi dei Licei scientifici italiani sia ad indirizzo "tradizionale" sia con Opzione Scienze Applicate. Il testo è reperibile nella forma cartacea al seguente indirizzo: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/201415/Licei/Ordinaria/M557_ORD.pdf

Svolgimento della Seconda Prova d'Esame

Iniziamo la nostra Prova d'Esame ricordando che abbiamo a disposizione 6 ore (non potendo comunque lasciare l'Istituto prima delle 3 ore dalla consegna del tema) e che possiamo disporre solo del nostra fidata Calcolatrice non Programmata e di un Dizionario Bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.

Come detto in Premesse dovremo svolgere SOLO un Problema e Cinque Quesiti. Chiaramente ognuno sceglierà quelli che ritiene più Facile ma per compiere questa scelta bisogna leggere tutti gli Esercizi ed è quello che faremo ora.

PROBLEMA 1.

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all'estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con f (x) la spesa totale nel mese e con g (x) il costo medio al minuto:

1. individua l'espressione analitica delle funzioni f (x) e g (x) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione g (x) non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell'andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.

2. Detto x₀ il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina x₁ tale che:

g (x₁) = g (x₀)/2

Traccia il grafico della funzione che esprime x₁ in funzione di x₀ e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?

Sul suo sito web l'operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse:

La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi x e y, e dalla retta di equazione x = 6; la porzione etichettata con la "Z", rappresenta un'area non coperta dal segnale telefonico dell'operatore in questione.

3. Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, veri cando che il suo gra co passi per i tre punti A, B e C. Sul sito web dell'operatore compare la seguente affermazione: "nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio"; verifica se effettivamente è così. L'operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 10 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti.

4. Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f (x) e g (x), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g (x) e della sua derivata e spiegane il signi cato nella situazione concreta.

PROBLEMA 2.

La funzione derivabile y = f (x) ha, per x € [-3, 3], il grafico Τ disegnato in figura. T presenta tangenti orizzontali per x = -1, x = 1, x = 2. Le aree delle regioni A, B, C e D sono rispettivamente 2, 3, 3 e 1. Sia g (x) una primitiva di f (x) tale che g (3) = -5.

1. Nel caso f (x) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

2. Individua i valori di x € [-3; 3], per cui g (x) ha un massimo relativo e determina i valori di x per i quali g (x) volge la concavità verso l'alto.

3. Calcola g (0) e, se esiste, il lim_x->0 1 + g (x) / 2x.

4. Sia h (x) = 3 * f (2x+ 1), determina il valore di ∫¹_-2 h (x) dx.

QUESITO 1.

Determinare l'espressione analitica della funzione y = f (x) sapendo che la retta y = -2x + 5 è tangente al grafico di f nel secondo quadrante e che f'(x) = -2x² + 6.

QUESITO 2.

Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula: V = 1/3 π * h * (R² + r² + R * r); dove R ed r sono i raggi e h l'altezza.

QUESITO 3.

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa "al più" due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa "almeno" due volte?

QUESITO 4.

Di quale delle seguenti equazioni di erenziali la funzione y = ln (x)/x è soluzione?

y + 2 * y'/x = y

y' + x * y = 1

x * y' = 1/x + y

x² * y + x * y' + 2/x = y

QUESITO 5.

Determinare un'espressione analitica della retta perpendicolare nell'origine al piano di equazione x + y - z = 0.

QUESITO 6.

Sia f la funzione, de nita per tutti gli x reali, da

f (x) = (x - 1)² + (x - 2)² + (x - 3)² + (x - 4)² + (x - 5)²;

determinare il minimo di f.

QUESITO 7.

Detta A (n) l'area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, veri care che A (n) = n/2 r² sen 2π/n e calcolarne il limite per n → ∞.

QUESITO 8.

I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all'interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo?

QUESITO 9.

Data la funzione:

determinare il parametro k in modo che nell'intervallo [0; 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l'esistenza.

QUESITO 10.

Il grafico della funzione f (x) = √x (x ∈ R, x ≥ 0) divide in due porzioni il rettangolo ABCD avente vertici A (1; 0), B (4; 0), C (4; 2) e D (1; 2). Calcolare il rapporto tra le aree delle due porzioni.

Letti tutti i quesiti e ora di scegliere quelli da svolgere. Per facilità di scelta noi fare il Secondo Problema e Cinque Quesiti a Caso lasciando agli studenti lo svolgimento autonomo degli altri (le soluzioni sono comunque reperibili qui: http://matutor2012.scuola.zanichelli.it/prove-di-maturita-2/prova-di-maturita-2014-2015/).

TRACCIA - PROBLEMA 2.

La funzione derivabile y = f (x) ha, per x € [-3, 3], il grafico Τ disegnato in figura. T presenta tangenti orizzontali per x = -1, x = 1, x = 2. Le aree delle regioni A, B, C e D sono rispettivamente 2, 3, 3 e 1. Sia g (x) una primitiva di f (x) tale che g (3) = -5.

1. Nel caso f (x) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

2. Individua i valori di x € [-3; 3], per cui g (x) ha un massimo relativo e determina i valori di x per i quali g (x) volge la concavità verso l'alto.

3. Calcola g (0) e, se esiste, il lim_x->0 1 + g (x) / 2x.

4. Sia h (x) = 3 * f (2x+ 1), determina il valore di ∫¹_-2 h (x) dx.

SVOLGIMENTO - PROBLEMA 2.

1. La funzione f (x) è polinomiale di grado almeno 4. Questo può essere dedotto in almeno tre modi diversi:

a) Punti d'intersezione con l'asse x. Dalla figura osserviamo che i punti di intersezione del grafico -2; 0; 2. Queste corrispondono alle radici dell'equazione f (x) = 0:

• x = -2 e x = 0 sono soluzioni di molteplicità 1;
• x = 2 è di molteplicità pari (almeno 2).

Per il teorema di Ruffini, se un polinomio ammette come radice un numero reale a, allora è divisibile per il polinomio (x - a). Applicandolo a f (x), per ciascuna delle sue radici, e tenendo conto delle loro molteplicità, otteniamo:

f (x) = p (x)(x + 2)(x - 0)(x - 2)^2m;

dove p (x) è un polinomio non nullo (eventualmente costante) e m è un intero positivo. Ricordando che il grado di un polinomio (indicato con deg) espresso come prodotto di polinomi è la somma dei gradi dei suoi fattori, concludiamo:

deg f (x) = deg p (x) + 1 + 1 + 2m ≥ 4.

b) Punti stazionari. Poiché T resenta 3 tangenti orizzontali in corrispondenza di x = -1, x = 1, x = 2, la funzione f (x) ammette 3 punti stazionari. Questi corrispondono alle radici dell'equazione f'(x) = 0. Analogamente a quanto detto al punto a), per il teorema di Ruffini, possiamo scrivere:

f'(x) = q (x)(x + 1)(x - 1)(x + 2);

dove q (x) è un polinomio non nullo (eventualmente costante). Dal momento che deg f (x) = deg f'(x) + 1 e deg f'(x) = deg q (x) + 1 + 1 + 1 ≥ 3, possiamo concludere che deg f (x) ≥ 4.

c) Punti di esso. Il grafico T cambia concavità almeno due volte: in x = -1 è rivolta verso il basso, in x = 1 è rivolta verso l'alto, in x = 2 è nuovamente rivolta verso il basso. Di conseguenza ci sono almeno due punti di esso, uno nell'intervallo ] -1; 1[ e uno nell'intervallo ]1; 2[. Essendo f (x) polinomiale, e quindi derivabile due volte, la sua derivata seconda si annulla per due valori distinti di x. Per il teorema di Ruffini, f(x) è un polinomio di grado almeno 2. Quindi, poiché deg f (x) = deg f(x) + 2 e deg f(x) ≥ 2; possiamo concludere che: deg f (x) ≥ 4.

2. I punti stazionari della funzione g (x) corrispondono ai punti in cui si annulla la sua derivata:

g'(x) = f (x) = 0;

cioè x = -2, x = 0, x = 2. In particolare, un punto stazionario x è di massimo relativo per g se g(x) = f'(x) < 0 e ricordiamo che f'(x) è negativa negli intervalli reali in cui f (x) è decrescente. Quindi possiamo già concludere che x = 0 è un punto di massimo relativo per g (x), poiché f (0) = 0 e f'(0) < 0. D'altra parte, osserviamo che:

• f (-2) = 0 ma f'(-2) > 0. Quindi x = -2 è un punto di minimo relativo per g (x);
• f (2) = 0 ma f'(2) = 0 e g'(x) = f (x) < 0 per ogni x in un intorno opportuno di 2. Quindi g (x) è decrescente in tale intorno e x = 2 è un punto di esso orizzontale.

La funzione g (x) volge la concavità verso l'alto negli intervalli in cui la sua derivata seconda è positiva. Dato che g(x) = f'(x), e f'(x) > 0 negli intervalli in cui f (x) è crescente, basta guardare in gura per capire che ciò accade in ]-3, -1[ e in ]1;2[.

3. Sapendo che g (x) è una primitiva di f (x) e che g (3) = -5, possiamo applicare il teorema di Torricelli-Barrow a f (x) sull'intervallo [0;3]:

∫³₀ f (x) dx = g (3) - g (0);

da cui

g (0) = - 5 - ∫³₀ f (x) dx:

Ricordiamo che l'integrale de nito di una funzione negativa è pari all'area, cambiata di segno, compresa tra il gra co della funzione e l'asse delle x. Di conseguenza:

∫³₀ f (x) dx = - C - D = - 4

Concludiamo che:

g (0) = - 5 - (-4) = - 1

Ora consideriamo il limite L = lim_{x → 0} 1+g (x)/2x.

Sostituendo il valore x = 0, il numeratore diventa 1 + g (0) = 1 + (-1) = 0 e il denominatore 2 * 0 = 0. Il limite L è una forma indeterminata del tipo 0/0. Possiamo calcolarlo applicando il teorema di De L'Hospital. Infatti, numeratore e denominatore sono funzioni continue e derivabili, con il denominatore non nullo per x ≠ 0. Il limite L, se esiste, è uguale al limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore:

lim_{x → 0} 1+g (x)/2x = lim_{x → 0} g'(x)/2 = lim_{x → 0} f (x)/2:

Osserviamo che il limite L esiste perché f (x) è continua in x = 0 e ivi si annulla. Concludiamo quindi che lim_{x → 0} 1+g (x)/2x = f (0)/2 = 0.

4. Per calcolare l'integrale ∫¹_-2 h (x) dx = 3 * ∫¹_-2 (2x + 1) dx; e ettuiamo il seguente cambiamento di variabili:

2x + 1 = t ⇒ dx = 1/2 dt;

da cui gli estremi x = -2 e x = 1 vengono, rispettivamente, trasformati in t = -3 e t = 3. L'integrale diventa allora:

TRACCIA - QUESITO 1.

Determinare l'espressione analitica della funzione y = f (x) sapendo che la retta y = -2x + 5 è tangente al grafico di f nel secondo quadrante e che f'(x) = -2x² + 6.

SVOLGIMENTO - QUESITO 1.

Per prima cosa cerchiamo di trovare il punto di tangenza tra la retta e il grafico della funzione f, che chiamiamo (x₀; y₀). Per la condizione di tangenza si deve avere f'(x₀) = -2 (perché -2 e il coefficiente angolare della retta), con x₀ appartenente al secondo quadrante. Da questa condizione si ottiene

-2 x²₀ + 6 = -2

che risolta dà x²₀ = 4.

L'unica soluzione accettabile, dato che il punto cercato deve stare nel secondo quadrante, è x₀ = -2 , da cui posso ricavare y₀ = 9 sostituendo x₀ nell'equazione della retta. Il punto di tangenza sarà quindi il punto (-2; 9). Poiché conosciamo la derivata di f, possiamo trovare f a meno di una costante additiva c calcolando l'integrale indefinito

f (x) = ∫f'(x) dx = ∫(-2x² + 6) dx = - 2/3 x³ + 6x + c.

Per trovare c, imponiamo che il punto (-2; 9) appartenga al grafico della funzione. Deve quindi essere

f (-2) = 9,

cioè

- 2/3 (-8) + 6 (-2) + c = 9,

da cui si ottiene

c = 47/3.

La funzione cercata è quindi

f (x) = - 2/3 x³ + 6x + 47/3.

TRACCIA - QUESITO 3.

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa "al più" due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa "almeno" due volte?

SVOLGIMENTO - QUESITO 3.

Il lancio di una moneta non truccata ha come possibili esiti testa (T) e croce (C). La probabilità che esca testa (o croce) in un singolo lancio è 1/2. In generale, la probabilità che si veri chi un evento è:

P (E) = numero casi favorevoli/numero casi possibili;

se i casi sono tutti equiprobabili. Calcoliamo la probabilità che escano al più 2 teste:

P (T ≤ 2) = P (T = 0) + P (T = 1) + P (T = 2) = (6/0)+(6/1)+(6/2)/2⁶ = 1+6+15/64 = 22/64 = 11/32 ≅ 0,34.

Calcoliamo la probabilità che escano almeno 2 teste:

P (T ≤ 2) = 1 - P (T ≤ 1) = 1- 7/64 = 64-7/4 = 57/64 ≅ 0,89.

In alternativa, possiamo calcolare la stessa probabilità ricorrendo ai coefficienti binomiali:

P (T ≤ 2) = P (2 ≤ T ≤ 6) = ∑⁶_{i = 2}(⁶_i)/2⁶ = 57/64.

TRACCIA - QUESITO 4.

Di quale delle seguenti equazioni di erenziali la funzione y = ln (x)/x è soluzione?

y + 2 * y'/x = y

y' + x * y = 1

x * y' = 1/x + y

x² * y + x * y' + 2/x = y

SVOLGIMENTO - QUESITO 4.

TRACCIA - QUESITO 5.

Determinare un'espressione analitica della retta perpendicolare nell'origine al piano di equazione x + y - z = 0.

SVOLGIMENTO - QUESITO 5.

Primo metodo risolutivo.

Nello spazio tridimensionale, un piano passante per l'origine è espresso dall'equazione:

ax + by + cz = 0.

Con a = 1, b = 1, c = -1, otteniamo il piano dato σ : x + y - z = 0. L'equazione a'x + b'y + c'z = 0 rappresenta un piano σ' passante per l'origine e perpendicolare a σ se valgono le seguenti condizioni:

• a', b', c' sono non tutti nulli;
• aa' + bb' + cc' = 0 → a' + b' - c' = 0 → c' = a' + b'.

Otteniamo così un fascio di piani passanti per l'origine e perpendicolari a quello dato:

a'x + b'y + (a' + b')z = 0;

con a', b' non entrambi nulli. La retta r perpendicolare a σ si ottiene intersecando due piani qualsiasi appartenenti al fascio, come per esempio x + y + 2z = 0 (che si ottiene per a' = 1, b' = 1, c' = 2) e x + z = 0 (che si ottiene per a' = 1, b' = 0, c' = 1). Pertanto la retta cercata ha espressione analitica:

Secondo metodo risolutivo.

Dato un piano ax + by + cz + d = 0, sappiamo che il vettore v^→(a; b; c) è perpendicolare al piano. Nel nostro caso, il vettore v^→(1; 1; -1) e perpendicolare al piano σ di equazione x + y - z = 0. La retta perpendicolare al piano σ e passante per O deve contenere il punto P (1; 1; -1). Scriviamo l'equazione della retta passante per i punti O e P:

TRACCIA - QUESITO 9.

Data la funzione:

determinare il parametro k in modo che nell'intervallo [0; 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l'esistenza.

SVOLGIMENTO - QUESITO 9.

Svolti gli Esercizi siamo così giunti alla fine della prova. Non ci resta che ricopiare, secondo i cannoni di bella grafia, il nostro elaborato in "bella" procedendo in ultimo ad un rapido controllo sia dei calcoli sia della eventuale grammatica. Finita anche questa fase soft consegniamo il nostro elaborato.

Si conclude così la nostra Seconda Prova e questo, possiamo definire, "Tutorial".

Le Prova di Matematica della Seconda Prova degli anni scorsi

Di seguito riportiamo un elenco di link alle Prove di Matematica degli anni scorsi presenti sul Sito Ufficiale del Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca. Le Prove proposte possono essere molto utili a chi intende esercitarsi su testi davvero sottoposti ai maturandi. Sono presenti Prove differenti per il Liceo Scientifico con Indirizzo Piano Nazionale Informatica.

L'Elenco è in Ordine Anacronologico degli anni in cui è uscita la Prova di Matematica (si parte dall'a.s. 2004/2005):

• a.s. 2017/2018: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/201718/Licei/Ordinaria/I043_ORD18.pdf .
• a.s. 2016/2017: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/201617/Licei/Ordinaria/I043_ORD17.pdf .
• a.s. 2015/2016: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/201516/Licei/Ordinaria/M557_ORD16.pdf .
• a.s. 2014/2015: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/201415/Licei/Ordinaria/M557_ORD.pdf .
• a.s. 2013/2014: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2014/allegati/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2014/allegati/Y557.pdf .).
• a.s. 2012/2013: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2013/allegati/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2013/allegati/Y557.pdf .).
• a.s. 2011/2012: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2012/M557.pdf Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2012/Y557.pdf .).
• a.s. 2010/2011: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2011/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2011/Y557.pdf .).
• a.s. 2009/2010: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2010/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2010/Y557.pdf .).
• a.s. 2008/2009: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2009/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2009/Y557.pdf .).
• a.s. 2007/2008: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2008/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2008/Y557.pdf .).
• a.s. 2006/2007: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2007/M557.PDF (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2007/Y557.PDF .).
• a.s. 2005/2006: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2006/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2006/Y557.pdf .).
• a.s. 2004/2005: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2005/classica/M557.pdf (Piano Nazionale Informatica: http://www.istruzione.it/esame_di_stato/Secondo_Ciclo/tracce_prove_scritte/2005/classica/Y557.pdf .).