Rette nel piano

Equazione di una retta

L'equazione cartesiana di una retta è la ben nota $ax+by+c=0$, con $(a,b)\neq (0,0)$. Vediamo come si ottiene questa equazione per costruzione con i vettori.

Consideriamo il seguente grafico

Abbiamo che u = ai+bj (con a, b non nulli) e B-A è ortogonale a u. Quindi il prodotto scalare deve essere nullo, cioè

$(B-A)\cdot u=0\Leftrightarrow (x-x_{0},y-y_{0})\cdot (ai,bj)=0\Leftrightarrow ai(x-x_{0})+bj(y-y_{0})=0$

$\Leftrightarrow ax-ax_{0}+by-by_{0}=0\Leftrightarrow ax+by+(-ax_{0}-by_{0})=0$

che è appunto l'equazione cartesiana che conosciamo bene, ponendo $c=(-ax_{0}-by_{0})$.

Parallelismo e coincidenza di due rette

Siano $\left\{{\begin{matrix}r:ax+by+c=0\\s:a'x+b'y+c'=0\end{matrix}}\right.$ due rette del piano e u, v i rispettivi vettori direttori.

Sappiamo che se r ed s sono ortogonali, anche u e v sono ortogonali tra loro. La stessa relazione che intercorre per l'ortognalità vale anche per il parallelismo delle rette. Quindi se due rette sono parallele, anche u e v sono paralleli, cioè $v=ku$, con $k\in \mathbb {R}$.

Dalla figura stessa è evidente come i vettori u e v ortogonali rispettivamente alle rette a e b siano proporzionali. Quello della figura è solo un esempio, u e v possono avere anche verso differente. La cosa che li accomuna è la direzione, e se $v=ku$ allora anche le rette r ed s sono proporzionali, cioè

$\left\{{\begin{matrix}a=ka'\\b=kb'\end{matrix}}\right.$

Diciamo che due rette r ed s sono coincidenti se

$\exists k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\left\{{\begin{matrix}a=ka'\\b=kb'\\c=kc'\end{matrix}}\right.$

cioè se sono parallele e sono proporzionali anche i termini noti.

Retta passante per due punti

Consideriamo $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1})$ due punti del piano. Riconducendoci al precedente caso dell'equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore $u=(a,b)$, possiamo ricavare l'equazione della retta passante per i due punti. Facciamo così:

• troviamo una retta parallela $r:P_{1}-P_{0}=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0})$
• ricaviamo un vettore ortogonale a u, che è $v=(-b,a)=(y_{0}-y_{1},x_{1}-x_{0})$
• ora prendiamo uno dei due punti che conosciamo, ad esempio $P_{0}$, e scriviamo l'equazione della retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore v.

Quindi,

$(P-P_{0})\cdot v=0\Leftrightarrow (x-x_{0},y-y_{0})\cdot (y_{0}-y_{1},x_{1}-x_{0})=0\Leftrightarrow$

$(x-x_{0})(y_{0}-y_{1})+(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=0\Leftrightarrow (x_{1}-x_{0})(y-y_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0})$

Ecco quindi ottenuta l'equazione di una retta passante per due punti.

Se $P_{0}\neq P_{1}\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}-x_{0}\neq 0\\y_{1}-y_{0}\neq 0\end{matrix}}\right.$ otteniamo l'equazione della retta passante per due punti forse già nota dalla scuola superiore, cioè

${\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}$

Intersezione di due rette

Siano $\left\{{\begin{matrix}r:ax+by+c=0\\s:a'x+b'y+c'=0\end{matrix}}\right.$ due rette del piano e come al solito $a,b\neq 0$. Se esistono, i punti di intersezione $(x,y)$ sono dati dalle soluzioni del sistema omogeneo

$\left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c'=0\end{matrix}}\right.$

alle quali sono associate le matrici

$A=\left({\begin{matrix}a&b\\a'&b'\end{matrix}}\right)$ e $A^{\prime }=\left({\begin{matrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{matrix}}\right)$

Per il Teorema di Rouché-Capelli, abbiamo che

1. se ${\rm {rg}}A=1,{\rm {rg}}A^{\prime }=2$ il sistema non ha soluzioni, quindi le rette sono distinte. Questo lo si può dedurre anche dal fatto che se ${\rm {rg}}A=1\Rightarrow (a,b)=k(a',b')$, cioè le rette sono parallele ma $A^{\prime }$ non è singolare, per cui c non è proporzionale a c' e quindi le rette sono parallele e non coincidenti, perciò non si intersecano mai e questo può avvenire solo in questa condizione;
2. se ${\rm {rg}}A={\rm {rg}}A^{\prime }=1\Rightarrow ax+by+c=0=k(a'x+b'y+c')$, quindi r ed s sono proporzionali e pertanto sono coincidenti e i punti di intersezione sono infiniti;
3. se ${\rm {rg}}A={\rm {rg}}A^{\prime }=2$ le rette non sono parallele e per cui il sistema ha come unica soluzione il punto $P=(x,y)$ di intersezione fra le due rette.

Fascio di rette

Siano $\left\{{\begin{matrix}r:ax+by+c=0\\s:a'x+b'y+c'=0\end{matrix}}\right.$ due rette del piano incidenti in un punto $rs$. Tutte le combinazioni lineari di r ed s generano un fascio di rette passanti per rs, come nella figura seguente.

più esplicitamente,

$(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}:\lambda (ax+by+c)+\mu (a'x+b'y+c')=0$

rappresenta tutte le possibili rette passanti per il punto $rs$ intersezione di r ed s.

Equazioni parametriche della retta

Sia $r:ax+by+c=0$ una retta passante per $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ e parallela ad un vettore $u=(l,m)$ come nella figura seguente.

È possibile descrivere completamente la retta r anche in forma parametrica, cioè mediante un sistema di questo tipo:

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+tl\\y=y_{0}+tm\end{matrix}}\right.,t\in \mathbb {R}$.

Infatti, notiamo per prima cosa che r è parallela ad u, quindi è parallela a tutti i vari $tu$, i multipli di u. Essa sarà perciò ortogonale anche a tutti i multipli del vettore $v=(-m,l)$ , cioè i vari $t(-m,l)$. Conoscendo un punto $P_{0}$ appartenente alla retta ed un vettore ad essa parallela, ci siamo ricondotti all'equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore. Per cui un qualsiasi punto $P=(x,y)$ appartiene ad r se e solo se $P-P_{0}$ è parallelo ad un qualsiasi multiplo del vettore u, cioè se $(x,y)=t(l,m)$. Cioè,

$\left\{{\begin{matrix}x-x_{0}=tl\\y-y_{0}=tm\end{matrix}}\right.,t\in \mathbb {R}$

che è equivalente a dire

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+tl\\y=y_{0}+tm\end{matrix}}\right.,t\in \mathbb {R}$.

Per capire meglio questo concetto è utile osservare la seguente figura;

Ogni vettore che finisce sulla retta è somma di un qualche $t{\vec {u}}$ e di ${\vec {OP_{0}}}$ e l'insieme di tutti questi vettori descrive completamente la retta.

Esempio

Trovare l'equazione della retta passante per $P_{0}=(1,-3)$ e parallela al vettore $u=(1,-6)$.

I punti $P=(x,y)$ hanno equazione

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+lt\\y=y_{0}+lm\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}x=1+t\\y=-3-6t\end{matrix}}\right.$ ricaviamo t $\left\{{\begin{array}{l}t=x-1\\y=-3-6(x-1)=-6x+3\end{array}}\right.$

Quindi l'equazione è $y=-6x+3$ o equivalentemente $6x+y-3=0$.

Possiamo inoltre ora stabilire se un punto P appartiene alla retta sostituendo le sue coordinate nel sistema sopra. Per esempio, verifichiamo se il punto $P_{1}=(3,-1)$ appartiene alla retta di equazione $6x+y-3=0$.

$\left\{{\begin{array}{l}3=1+t\\-1=-3-6t\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}2=t\\-{\frac {1}{3}}=t\end{array}}\right.$, il sistema non ha soluzioni quindi P non appartiene alla retta.

Equazione parametrica di una retta passante per due punti

Analogamente a quanto fatto prima (cioè conoscendo un punto $P_{0}\in r$ e un vettore parallelo ad r, possiamo ricavare l'equazione parametrica di una retta r passante per due punti $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1})$. Notiamo però che un vettore parallelo ad r ce lo abbiamo già: esso è infatti $P_{1}-P_{0}$. Allora $P=(x,y)\in r$ se :

$P-P_{1}=t(P_{1}-P_{0})\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x-x_{0}=t(x_{1}-x_{0})\\y-y_{0}=t(y_{1}-y_{0})\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+t(x_{1}-x_{0})\\y=y_{0}+t(y_{1}-y_{0})\end{array}}\right.$

Intersezione di due rette in forma parametrica

Siano

$r:\left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+lt\\y=y_{0}+mt\end{array}}\right.$ $s:\left\{{\begin{array}{l}x=x_{1}+l's\\y=y_{1}+m's\end{array}}\right.$

due rette in forma parametrica (parallele rispettivamente ai vettori $(l,m),(l',m')$). Vogliamo ora vedere se r ed s si intersecano in qualche punto.

Dobbiamo risolvere il sistema in t ed s per vedere se esistono dei $t,s\in \mathbb {R}$ tali che le coordinate di un eventuale punto intersezione $P$ siano uguali.

$\left\{{\begin{array}{l}x_{0}+lt=x_{1}+l's\\y_{0}+mt=y_{1}+m's\end{array}}\right.$

Ora troviamo questo punto di intersezione $P$, ma osserviamo prima una figura di esempio che ci aiuta a capire in quale situazione siamo:

Il punto di intersezione tra le due rette P è ottenuto da $P_{0}+tu=P=P_{1}+sv$, con t ed s opportuni numeri reali soluzioni del sistema sopra.

Esempio

Sia r una retta passante per (0,0) e parallela al vettore (1,-1), s una retta passante per $P_{1}=(1,1,)$ e parallela al vettore (1,+2). Trovarne (se esistono) le intersezioni.

$r:\left\{{\begin{array}{l}x=t\\y=-t\end{array}}\right.$ $s:\left\{{\begin{array}{l}x=1+s\\y=1+2s\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{l}t=1+s\\-t=1+2s\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}t=1+s\\-s-2s=2\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}t=1+s\\s=-{\frac {2}{3}}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}t=1-{\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}\\s=-{\frac {2}{3}}\end{array}}\right.$

Quindi le due rette si intersecano quando $t={\frac {1}{3}}$ e $s=-{\frac {2}{3}}$ e per trovare le coordinate del punto di intersezione P possiamo scegliere arbitrariamente di sommare $P_{0}$ con t (1,-1) oppure considerare l'altra retta e fare la stessa cosa per s che abbiamo trovato. È del tutto ininfluente scegliere uno piuttosto che l'altro perché essendo t ed s soluzioni del sistema, ci assicura che $P_{0}+t(l,m)=P_{1}+s(l',m')=P$.

Scegliamo di considerare $P_{0}$ e $t={\frac {1}{3}}$ e abbiamo che

$P=(0,0)+{\frac {1}{3}}(1,-1)=({\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}})$.

Scegliendo di lavorare con $P_{1}$ ed s (l', m'), si giunge allo stesso risultato. Provare per credere!

Distanza di un punto da una retta

Sia $r:ax+by+c=0$ una retta, $u=(a,b)$ un vettore ortognale ad r, $P=(x_{0},y_{0})$ un punto appartenente a r e $Q=(h,k)$ un punto del piano.

La formula per ottenere la distanza di Q da r è

${\frac {\mid ah+bk+c\mid }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Dimostriamo questa formula. Siamo in una situazione di questo tipo:

Innanzitutto abbiamo che

$||u||={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ e $Q-P=(h-x_{0},k-y_{0})$ e la distanza che cerchiamo è $d=|{\overline {QR}}|$.

Il triangolo $P{\hat {R}}Q$ è retto e la trigonometria ci dice che possiamo ricavare un cateto moltiplicando l'ipotenusa per il coseno dell'angolo compreso tra ipotenusa e cateto. Quindi

$d=|{\overline {PQ}}|\cdot \cos({\overline {PQ}}{\hat {}}{\overline {QR}})\Leftrightarrow |(P-Q)|\cdot \cos({\overline {PQ}}{\hat {}}u)$

perché u è parallelo a ${\overline {QR}}$, quindi l'angolo non cambia.

Il coseno lo possiamo ricavare dalla definizione di prodotto scalare

$\cos({\overline {PQ}}{\hat {}}u)={\frac {(P-Q)\cdot u}{||(P-Q)||\cdot ||u||}}$.

Applicando la formula di prima per la distanza, abbiamo:

$d=|(P-Q)|\cdot {\frac {(P-Q)\cdot u}{||(P-Q)||\cdot ||u||}}\Leftrightarrow$