Relazioni tra parabole con assi verticali

Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

Algoritmi per calcolo dell'equazioni di due parabole e dei loro punti di contatto

Le coordinate dei punti di contatto tra due parabole ad asse verticale, siano tangenti che secanti, si calcolano mediante la soluzione di un sistema che vede coinvolte l'equazioni delle due curve.

La soluzione del sistema menzionato presenta alcune difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di banali, ma deleteri, errori nel suo sviluppo.

Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi relativi a due parabole con estrema rapidità e sicurezza dei risultati.

La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento al sistema delle due equazioni sotto riportate:

${\begin{cases}y=a\ x^{2}+b\ x+c\\y=a_{1}\ x^{2}+b_{1}\ x+c_{1}\end{cases}}$

Il calcolo prevede l'introduzione dei valori dei coefficienti $(a\ ;\ b\ ;\ c),\ e\ (a_{1}\ ;\ b_{1}\ ;\ c_{1})$ relativi alle due curve.

Come si presenta la schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura , in essa s'individuano:

• il tracciato cartesiano

• la sezione per l'inserzione dei coefficienti, $(a\ ;\ b\ ;\ c)$ della prima parabola (traccia rossa).

• la sezione per l'inserzione dei coefficienti, $(a_{1}\ ;\ b_{1}\ ;\ c_{1})$ della seconda parabola (traccia blu).

• il pulsante per la presentazione grafica delle due parabole

• il pulsante per il calcolo delle coordinate dei punti di contatto

• la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano

Esempi d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione sono proposti tre esercizi grafici numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo9 nella sezione Collegamenti esterni.

1° - parabole secanti -

Si considera una parabola convessa con i termini: $a=-2\ ;\ b=3\ ;\ c=4$ (traccia rossa)

ed una concava con i termini: $a_{1}=2\ ;\ b_{1}=4\ ;\ c_{1}=-3$ (traccia blu)

Una volta digitate i valori dei coefficienti e il valore di fondo scala $=10$, cliccando sul pulsante "grafico" sul reticolo cartesiano compaiono le due parabole.

Con la successiva pressione di "Calcolo" si completa la grafica e sullo schermo

compaiono le indicazioni delle coordinate dei punti di contatto:

$P_{1}(x_{1}=-1.45\ ;\ y_{1}=-4.59)$

$P_{2}(x_{2}=1.2;y_{2}=4.71)$

La grafica finale è visibile in figura.

2° - parabole tangenti -

Si considera una parabola convessa: $a=-3\ ;\ b=4\ ;\ c=5$ (traccia rossa)

ed una concava con: $a=3\ ;\ b=4\ ;\ c=5$ (traccia blu)

Una volta digitate i valori dei coefficienti e il valore di fondo scala = $10,$ cliccando sul pulsante "grafico" sul reticolo cartesiano compaiono le due parabole.

Con la successiva pressione di "Calcolo" si completa la grafica e sullo schermo compaiono le indicazioni delle coordinate dei punti di contatto che, essendo le curve tangenti, sono coincidenti:

$P_{1}(x_{1}=0\ ;\ y_{1}=5)$

$P_{2}(x_{2}=0\ ;\ y_{2}=5)$

il punto di tangenza è sull'asse delle ordinate con valore $y=5.$

La grafica finale è visibile in figura.

3° - parabole non a contatto -

Si considera una parabola convessa: $a=-3\ ;\ b=6\ ;\ c=3$ (traccia rossa) ed una concava con:

$a_{1}=1\ ;\ b_{1}=7\ ;\ c_{1}=5$ (traccia blu)

Una volta digitate i valori dei coefficienti e il valore di fondo scala $=10,$cliccando sul pulsante "grafico" sul reticolo cartesiano compaiono le due parabole.

Con la successiva pressione di "Calcolo" lo schermo non porta, naturalmente, alcuna indicazione relativa a punti di contatto; in questo caso, infatti, il discriminante dell'equazione indicata al punto 2) è negativo è la routine di calcolo impone la non esecuzione del calcolo. La grafica finale è visibile in figura.

Note

-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo9