Rango di una matrice

Rango di una matrice

Sottomatrici e minori

Una sottomatrice di una matrice $A_{n\times m}$ è una matrice $B_{r\times s}$ ottenuta da $A$ rimuovendo $n-r$ righe e $m-s$ colonne. Un minore è una sottomatrice quadrata, cioè con $r=s$. Il numero $r$ è definito ordine del minore. Un minore complementare è un suo minore ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna.

Definizione di rango ed esempi

Il rango di una matrice $A$ è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti in $A$.

Il rango di una matrice può essere formulato in numerosi modi equivalenti, ma per ora noi utilizzeremo soprattutto l'ultima definizione della lista seguente. Per ora, tanto per essere subito operrativi. È comunemente indicato con rango ($A$), rg ($A$) o $\rho$($A$).

Le seguenti definizioni di rango di $A$ sono tutte equivalenti:

• Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti.
• Il massimo numero di righe linearmente indipendenti.
• La dimensione del sottospazio vettoriale di $K^{m}$ generato dalle colonne di $A$
• La dimensione del sottospazio vettoriale di $K^{n}$ generato dalle righe di $A$
• La dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare $L_{A}$ da $K^{n}$ in $K^{n}$ seguente:

  $L_{A}:x\mapsto Ax$

• Il massimo ordine di un minore di $A$ con determinante non nullo.