Probabilità discreta

Definizioni preliminari

Siano $A,B\subset S$, definiamo

Unione di eventi

$A\cup B$ : evento di S che contiene tutti gli esiti di A e/o di B.

Intersezione di eventi

$A\cap B$ : evento di S che contiene tutti gli esiti presenti sia in A che in B.

Insieme vuoto

$\emptyset$ : evento che non contiene esiti.

Eventi mutuamente esclusivi (o disgiunti)

Se $A\cap B=\emptyset$

Eventi complementari

Sia $A\subset S,\qquad A^{C}={\overline {A}}=S-A$

Nota bene: $S^{C}=\emptyset$

Proprietà

Siano $A,B\subset S$

• $A^{C}\cap B^{C}=(A\cup B)^{C}$
• $A^{C}\cup B^{C}=(A\cap B)^{C}$

Unione di eventi

Siano $A_{1},A_{2},...,A_{m}\subset S$

$\bigcup _{k=1}^{m}{A_{k}}=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{m}$

Definizione assiomatica di probabilità

Assiomi di Kolmogorov

Dato un esperimento che preveda più esiti possibili e a cui è associato uno spazio campione $S$, e dato un evento $E\subset S$, si definisce probabilità di $E$:

$$P(E)\in \mathbb {R}$$

Assioma 1

$0\leq P(E)\leq 1$

Assioma 2

$P(S)=1$

Assioma 3

Dati $E_{1},E_{2},...,E_{m}\in S$ mutuamente esclusivi (o disgiunti), la probabilità dell'unione degli eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

In formule:

$P\left(\bigcup _{k=1}^{m}{E_{k}}\right)=\sum _{k=1}^{m}{E_{k}}$

Probabilità condizionata

Problema della rovina del giocatore

Descrizione del problema

A e B giocano lanciando una moneta. Se esce testa (T), B da una moneta ad A. Viceversa se esce croce (C).

Il gioco continua fino a quanto uno dei due giocatori rimane senza monete.

Sia $k,\quad 0<k<n$ il numero di monete posseduto inizialmente da A e $(n-k)$ il numero di monete possedute da B.

Qual è la probabilità che vinca A, cioè che B resti senza monete?

Senza fare un'analisi approfondita, è abbastanza intuitivo pensare che chi inizialmente ha più monete abbia più probabilità di vincere. Dipenderà inoltre dal numero di tutte le monete presenti in gioco.

Analisi del problema

Sia l'evento A = 'A vince', $P_{k}=P(A)$, al turno $k$-esimo.

Per sussistere il problema, è necessario che venga effettuato almeno un lancio $(1\leq k\leq n)$.

Siano inoltre:

• $P(T)=p$
• $P(C)=1-p=q$

T e C sono una partizione dello spazio campione, quindi è possibile applicare il teorema della probabilità totale.

$${\begin{aligned}P(A)&=P(A|T)P(T)+P(A|C)P(C)\\P_{k}&=P_{k+1}p+P_{k-1}q\end{aligned}}$$

$P(A|T)\rightarrow P_{k+1}$ poiché se è uscito testa A riceve una moneta, ha quindi $k+1$ monete

Stesso ragionamento si applica con $P(A|C)$.

Osservazione: $P_{0}=0,\quad P_{n}=1$

Dall'equazione di prima riprendiamo che

$${\begin{aligned}1\cdot P_{k}&=P_{k+1}\cdot p+P_{k-1}\cdot q\\(p+q)\cdot P_{k}&=P_{k+1}\cdot p+P_{k-1}\cdot q\\q(P_{k}-P_{k-1})&=p(P_{k+1}-P_{k})\\P_{k+1}-P_{k}&=(P_{k}+P_{k-1}){\frac {q}{p}}\end{aligned}}$$

con $p\neq 0$, altrimenti A non può mai vincere.