Parabola asse verticale e rette associate

Una premessa è necessaria prima del prosieguo della voce: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testidi geometria analitica in commercio

Relazioni tra parabola e rette associate

Le coordinate dei punti di contatto tra parabola e rette , siano tangenti che secanti, si calcolano con un particolare file eseguibile scaricabile nella sezione Collegamenti esterni all'indicazione geo6, mediante la soluzione di un sistema di secondo grado che vede coinvolte l'equazioni delle due curve.

La soluzione del sistema presenta alcune difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di errori nel suo sviluppo.

Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi relativi alla parabola e rette associate con estrema rapidità e sicurezza dei risultati.

La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento al sistema tra le due equazioni sotto riportato:

${\begin{cases}y=a\ x^{2}+b\ x+c\\y=m\ x+n\end{cases}}$

La prima equazione è relativa ad una parabola con asse verticale variabile secondo impostazione su P.C. dei termini: $a\ ,\ b\ ,\ c$

La seconda equazione è riferita ad una retta definibile secondo impostazioni su P.C. dalle coordinate di un suo punto di passaggio: $P(x_{o}\ ;\ y_{o})$

Come si presenta la schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

• il tracciato cartesiano
• la sezione per l'inserzione dati comprendente 6 TextBox ed un pulsante di comando.
• la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano

Nella parte alta della schermata si digitano i dati: $a\ ,\ b\ ,\ c$ indicati in nero, relativi alla parabola.

Nella parte inferiore si digitano i dati $P(x_{o}\ ;\ y_{o})$, indicati in verde, relativi alle coordinate del punto di passaggio delle tangenti quando queste siano possibili.

Esempi d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione sono proposti tre esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo6 scaricabile dalla sezione Collegamenti esterni.

1° esercizio

Il primo esercizio è relativo al calcolo delle equazioni di due rette, passanti per $P_{o}(x_{o}=3\ ;\ y_{o}=1)$, e tangenti alla parabola di equazione $y=0.5\ x^{2}-2\ x+4$

Come vediamo in figura 2 il punto $P_{o}$ è esterno alla parabola; condizione indispensabile per la tangenza di curve ivi passanti.

Dopo la digitazione dei dati e l'impostazione scala a : fondo scala =$10,$ si preme il pulsante calcolo e si ottiene la schermata di figura 2 che indica:

• con un punto color verde il punto $P_{o}$
• con colore nero la parabola
• con colori rosso e blu le due tangenti
• le equazioni delle due tangenti:

retta rossa: $y=2.73\ x-7.2$

retta blu: $y=-0.73\ x+3.2$

• le coordinate dei due punti di tangenza tra le rette e la parabola:

con punto rosso:$Pt(xt_{1}=4.73\ ;\ yt_{1}=5.73)$

con punto blu: $Pt(xt_{2}=1.27\ ;\ yt_{2}=2.27)$

• le coordinate del vertice della parabola $Cv(x_{v}=2\ ;\ y_{v}=2)$

Una volta presentati i dati questi possono essere cambiati e , dopo la pressione del pulsante calcolo, ottenere una presentazione completamente diversa.

2° esercizio

Un secondo esercizio vede il punto $P_{o}$ all'interno della parabola facilmente ottenibile dal precedente posizionando $P_{o}$ da : $P_{o}\ (x_{o}=3\ ;\ y_{o}=1)\ a\ P_{o}(x_{o}=2\ ;\ y_{o}=4)$ e lasciando inalterati i termini $a\ ;\ b\ ;\ c$ della parabola.

Dopo la digitazione dei dati e l'impostazione scala a : fondo scala = $10$, si preme il pulsante calcolo ottenendo la schermata di figura 3 nella quale si vede la parabola ed il punto verde Po all'interno di essa; naturalmente nessuna tangente è possibile.

3° esercizio

L'esercizio è relativo all'utilizzo di valori di scala adattabili alla grafica contingente.

Iniziamo impostando questo nuovo sviluppo secondo la serie di dati sotto indicati:

$a=1\ ;\ b=2\ ;\ c=4$

$P_{o}(x_{o}=2\ ;\ y_{o}=4)$

fondo scala = $10$

Dopo l'avvio del calcolo si ha la schermata di figura 4 nella quale non si ha la grafica del punto di tangenza rosso perché è oltre il tracciato.

Se osserviamo le coordinate del punto di tangenza rosso le vediamo indicate con:

$Pt(xt_{1}=4.83\ ;\ yt_{1}=36.97)$

che ci suggerisce una variazione di scala da $FS=10\ a\ Fs=50$ in modo da contenere completamente il grafico del nostro esercizio; con tale variazione si ottiene infine la schermata completa indicata in figura5.

Note

-Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo6