Numeri complessi
Insieme dei numeri complessi modifica
L'insieme dei numeri complessi, denotato con , è un anello così composto:
cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente : ,
In definitiva, è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.
come sottocampo di modifica
Poniamo . È immediato verificare che è un sottocampo di , ma la cosa interessante è che è isomorfo a , dunque in particolare esiste una funzione tale che . Quindi è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo con e dunque,
Unità immaginaria modifica
Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso
Con la definizione che abbiamo dato di , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè
Infatti:
L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: è una radice dell'equazione
Infatti:
- .
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.
Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in ) modifica
non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine tale che
Dimostrazione modifica
Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
- .
dunque non esiste in una radice negativa e questo è falso, perché .
Parte reale e coefficiente dell'Immaginario modifica
Consideriamo un numero complesso . Si definisce
- parte reale il numero reale ;
- coefficiente dell'immaginario il numero reale ;
- coniugato di .
Proposizione (algebra dei coniugati) modifica
Dimostrazione modifica
Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
Valore assoluto di un numero complesso modifica
Definiamo il valore assoluto di
Tenete presente che e . Questo ne garantisce l'esistenza.
Proposizione (proprietà del valore assoluto) modifica
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)