Numeri complessi

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Numeri complessi
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Numeri reali (seconda parte) Analisi matematica Funzioni (superiori)

Insieme dei numeri complessiModifica

L'insieme dei numeri complessi, denotato con  , è un anello così composto:

 

cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente :  ,

 

In definitiva,   è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.

come sottocampo di Modifica

Poniamo  . È immediato verificare che   è un sottocampo di  , ma la cosa interessante è che   è isomorfo a  , dunque in particolare esiste una funzione   tale che  . Quindi   è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo   con   e dunque,

 .

Unità immaginariaModifica

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

 .

Con la definizione che abbiamo dato di  , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

 

Infatti:

 

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:   è una radice dell'equazione

 .

Infatti:

 .

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di  . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in  )Modifica

  non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine   tale che

 

 
DimostrazioneModifica

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

 .

dunque non esiste in   una radice negativa e questo è falso, perché  .

 


Parte reale e coefficiente dell'ImmaginarioModifica

Consideriamo un numero complesso  . Si definisce

  • parte reale il numero reale  ;
  • coefficiente dell'immaginario il numero reale  ;
  •   coniugato di  .

Proposizione (algebra dei coniugati)Modifica

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
DimostrazioneModifica

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
 

Valore assoluto di un numero complessoModifica

Definiamo il valore assoluto di  

 

Tenete presente che   e  . Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)Modifica

(i)  
(ii)  
(iii)  
(iv)  
(v)  
(vi)  

DimostrazioneModifica

 Nota:
dimostrarlo brevemente