Cinematica dei sistemi di corpi rigidi

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Introduzione

In questa prima parte del corso ci occuperemo di sistemi meccanici semplici, analizzando le loro possibilità di movimento, le loro reazioni vincolari e complessivamente la loro cinematica.

Il punto materiale

Il sistema fisico più semplice del quale ci si può occupare è il punto materiale, che non interessa particolarmente questo corso in quanto troppo semplice per noi, poiché la statica, la cinematica e la dinamica del punto materiale sono già stati oggetto del corso di fisica. Esso rappresenta tuttavia un buon punto di partenza per la descrizione dei corpi rigidi.

Il punto materiale è un corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto al fenomeno in studio.

Gradi di libertà e di vincolo del punto materiale

Esempio di curva nello spazio: un punto materiale che si muovesse lungo essa avrebbe un solo GdL

Il punto materiale per essere individuato nello spazio tridimensionale necessita di 3 coordinate, in questo caso tante quante il numero di dimensioni dello spazio. Lo stesso vale per il punto nel piano: 2 coordinate. Ed infine per il punto su di una linea: 1 coordinata. Una volta definite le coordinate del punto, non sono utili altre informazioni al fine di definirne la posizione. La parola orientamento per un punto non ha senso (mentre lo avrà per il corpo rigido).

• Un punto materiale libero di muoversi nello spazio ha perciò 3 gradi di libertà (GdL). Come metafora, basta pensare alle possibilità di movimento di una mosca nell'aria di una stanza.

• Se però il punto materiale è limitato su di un piano appartenente ad uno spazio tridimensionale, allora avremo solo 2 GdL: è stato inserito un grado di vincolo (GdV). In questo caso è sufficiente immaginare una formica su di un foglio indefinito orientato nella stanza. La posizione del punto potrà essere comunque rappresentata da 3 coordinate, ma ognuna di queste coordinate dipenderà dalle altre due. Se quindi utilizzassimo un sistema di 3 equazioni per descrivere la posizione, allora le tre equazioni sarebbero linearmente dipendenti.

• Analogamente possiamo considerare un punto materiale limitato su di una curva nello spazio tridimensionale: questo è il caso in cui si ha 1 GdL e 2 GdV. L'analogia potrebbe dunque essere quella di una formica che si muove lungo un filo disteso nello spazio tridimensionale.

Il corpo rigido

Animazione delle possibilità di movimento del corpo rigido e delle sue proprietà

Le tre possibili rotazioni che può effettuare un corpo rigido

Il corpo rigido è un oggetto costituito da infiniti punti materiali, che sotto ogni condizione, non si deforma mai. Detto in maniera più formale: le distanze relative tra i punti che lo costituiscono non variano mai. Le sue proprietà di forma non sono perciò soggette al tempo.

Quindi, quando parliamo di corpo rigido invece di un corpo reale, ciò vuole dire che stiamo trascurando le deformazioni, anche minime, che caratterizzano i corpi reali (dall'acciaio al marmo). Ovviamente non serve dire che è poco utile approssimare ad un corpo rigido un elastico, una molla, o qualunque altro corpo notevolmente deformabile.

• Mentre il punto materiale, considerato in due dimensioni, ha 2 gradi di libertà, un corpo rigido in due dimensioni (schiacciato su di un piano) ha 3 gradi di libertà (GdL), poiché può traslare lungo due direzioni perpendicolari, parallele agli assi x e y, e può inoltre essere orientato secondo un angolo θ.

• Nelle tre dimensioni il punto materiale si era detto avesse 3 GdL. Il corpo rigido invece ha 6 GdL. Difatti, per individuare univocamente posizione ed orientazione nello spazio servono necessariamente 6 parametri: 3 coordinate spaziali (ad es: x,y,z) e 3 angoli (ad es: θ,φ,γ).