Materia:Calcolo 2
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Aree di riferimento
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Corsi
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Dipartimenti
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  Presentazione
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Questa materia non ha ancora una introduzione.
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 Programma
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Parte di analisi 1:
Parte di analisi 2:
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 Verifiche d'apprendimento
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È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento. | |
 Risorse
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La Biblioteca del Dipartimento di Scienze MFN contiene risorse utili per approfondire. Se vuoi, aggiungi tu altre risorse. | |
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Funzioni:
- Calcolo del Dominio
Il dominio è l’insieme delle soluzioni in cui è definita e soddisfatta la funzione; esso può essere aperto chiuso o dato da intersezioni di piccoli insiemi; viene scritto con la forma [] quando comprende gli estremi e () quando gli estremi non sono contenuti nel dominio; da notare che i valori + o - infiniti non possono essere compresi e quindi saranno seguiti o anticipati dalle ().
- Studio del Segno:
Bisogna trovare i valori dell’incognita per cui diventi positiva e quelli per cui diventi negativa.
- Intersezione con gli assi:
Trovare il valore di x affinché la funzione sia 0.
- Calcolo dei limiti
Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti per x che tende a
- -infinito se il dominio è illimitato inferiormente
- +infinito se il dominio è illimitato superiormente
- Nel punto di accumulazione C se c è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno.
In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.
- Continuità:
- Discontinuità:
Si dividono in tre specie:
- Discontinuità eliminabile:
- Discontinuità di prima specie:
La loro differenza si chiama salto
- Discontinuità di seconda specie:
O viceversa
- Simmetrie:
Per verificare le simmetrie: Se: f(-x)=-f(x)è dispari allora è simmetrica rispetto all’origine. Se: f(-x)=f(x)è pari allora è simmetrica rispetto alle ascisse.
- Calcolo degli Asintoti:
- asintoto verticale:
E’ la retta di equazione x = c se:
- asintoto orizzontale:
E’ la retta di equazione y = l se:
- asintoto obliquo:
E’ la retta di equazione y = mx + q se si verificano nell'ordine le seguenti proprietà:
Da notare che potranno esserci:
- da zero a infiniti asintoti verticali,
- da zero a due asintoti orizzontali,
- da zero a due asintoti obliqui.
Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:
- le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto,
- una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
- Se la funzione è definita su tutto il campo dei reali, non esiste alcun asintoto verticale
- Calcolo dei punti di Massimo e Minimo:
Un punto è massimo relativo se la derivata della funzione si annulla nel punto e la derivata seconda è negativa: f(x0) < 0 Un punto è di minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla in x0 e la derivata seconda è positiva: f(x0) > 0 Si ha un punto di massimo assoluto se in x0 assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti del dominio, ovvero:
Viceversa f ha un minimo assoluto in un punto x0 del dominio se:
- Verifico i punti a Tangente Verticale; Flesso; Stazionario; Angolosi; Cuspide;
Se il segno della derivata è costante in un intorno di x allora x è punto a tangente orizzontale. Se f(x) = 0 allora x è un punto di flesso. Se un punto è di massimo relativo e se la derivata prima della funzione si annulla il punto è chiamato punto stazionario e la derivata seconda è negativa. Un punto si dice angoloso se esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse. Si chiama punto di cuspide se la funzione è derivabile in quel punto e si ha:
- Convessità:
Se f'(x) è derivabile in x:
- se f(x) > 0 allora f è convessa in x,
- se f(x) < 0 allora f è concava in x,
- Grafico:
Si raccolgono graficamente tutte le informazioni ottenute negli 11 passaggi precedenti. Estendere f nei punti estremi del dominio: Si deve stabilire la continuità di punti estremi del dominio. Espressione polinomiale che approssima la funzione:
Integrali:
Per Integrali indefiniti: Posso: avere un integrale diretto oppure utilizzare uno dei metodi:
- metodo di integrazione per parti
- metodo del completamento del quadrato
- metodo degli integrali abeliani
Per integrali definiti:
- Calcolo della Convergenza: Integrabile secondo Riman
Se il limite esiste ed è finito allora è integrale proprio e convergente; se il limite esiste ma è infinito allora è integrale improprio divergente
- Teorema fondamentale per il calcolo del limite:
f:[a,b]→R G(x)è la primitiva allora: ___
Funzioni 2:
- Dominio
- Restrizione della funzione:
La restrizione va fatta bloccando uno degli assi al valore 0 e vedendo il comportamento di tale funzione e avere una misurazione grafica recisa graficamente La restrizione può essere fatta anche trasformando un incognita in un fascio di rette; calcolando infine il limite: se dipende dal coefficiente angolare allora esso non esiste
- Calcolo dei limiti:
Si può utilizzare il metodo del confronto oppure il metodo delle coordinate polari: ovviamente se il limte dipende dal’angolo non esiste).
- Calcolo delle derivate:
Le derivate vanno calcolate seguendo un criterio: Derivate parziali (ovvero di una sola incognita per volta) chiamata, essa per esistere devono tendere allo stesso valore sia in un intorno destro che in quello sinistro. Derivate direzionali: alle incognite vengono sostituiti dei vettori u1 e u2 (solitamente la base canonica)
- Studio del segno:
Del tutto uguale al calcolo della funzione ad una variabile.
- Studio della continuità
Si calcola il differenziale nel punto; se esiste allora la funzione è continua in quel punto.
- Gradiente:
∇f(x_0,y_0 )=(f_x (x_0,y_0 );f_y (x_0,y_0 ) ) Si chiama divergenza se è prodotto di una funzione per uno scalare.
- Derivate direzionali:
(f(x,y)-f(x_0,y_0 ))/h=f(〖hu〗_1,〖hu〗_2 )/h
- Calcolo dei massimi e dei minimi:
Se f è derivabile i massimi e i minimi vanno cercati calcolando il punto critico: esso si trova ponendo il gradiente (vettore delle derivate parziali) uguale a zero e studiando il segno della funzione: se il segno varia in un intervallo saranno punti di sella al contrario sono massimi o minimi. Calcolo il determinante della matrice hessiana:
- Se è > 0 e concorde con il segno della derivata parziale seconda rispetto alla x allora il valore è un punto di minimo relativo.
- Se è > 0 e di segno discorde con quello della derivata seconda parziale rispetto alla x allora il valore è punto di massimo relativo.
- se è < 0 allora il punto è di sella.
- Se è 0 non si può discutere.
Punti di massimo e di minimo vincolati:
- Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
- Metodo di parametrizzazione della frontiera
Integrali doppi e tripli:
La regola del calcolo dell’integrale doppio è semplice e basata sulla regola di integrazioni successive: ∬_[a,b][c,d]▒f(x,y)dxdy=∫_c^d▒(∫_a^b▒f(x,y)dx)dy Integrali definiti in dominio: ∬_D▒f(x,y) Serve soprattutto per calcolare l’area del dominio Per esprimere il dominio posso utilizzare anche le coordinate polari che servono solo per domini con tratti di circonferenze.
Equazioni differenziali:
Differenziale: lim┬((h,k)→(0,0) )〖(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0 )-f_x (x_0,y_0 )h-f_y (x_0,y_0 )k)/√(h^2 〖+k〗^2 )〗=0